第二章极限论 第三讲函数的连续性 (The Continuity of function 阅读:第二章24pp44-50, 预习:第三章31pp.51-58 练习pp49-50习题24:1至8;9,(1),(2),(3);10,(1),(3);14;15. 作业pp49-50习题24:9,(4);10,(2);11;12;13. 2-4函数连续的定义及其性质 2-4-1函数连续性的定义 1)定义: 函数的连续性描述函数y=f(x)的渐变性态在通常意义下,我们对函 数连续性有三种描述 其一,当自变量x有微小变化时,其函数y的变化也是微小的; 其二,自变量x的微小变化不会引起因变量y跳跃; 其三,从几何上理解连续函数的图形可以一笔画成无间断 以上只是连续性的直观理解,实质上是相意的反复,在数学上要确切地 刻画函数连续性概念,必须用极限作定量地描述 定义1:设函数∫在x的某邻域中有定义,若lmf(x)=∫(x0) 则称函数∫在点x连续,x称为是f的一个连续点 否则就称∫在点x0间断,x称为是∫的一个间断点 注一:函数∫在点x连续蕴含以下三个条件,缺一不可 (1)∫在xo的某邻域有定义 (2)∫在点x的极限存在; (3)极限值等于函数值。 以上三条中带本质性的是第二条极限的存在性。 注二:函数∫在点x连续意味着极限运算与函数运算可交换,即 lm f(x)=f(lm x)=f(xo) 定义2设函数∫在(a,x0]有定义,且limf(x)=f(x0),则称函数f x→x 在点x左连续 设函数∫在[x,b)有定义,且lmf(x)=f(x0),则称函数f 在点x右连续 第二章极限论第二章 极限论 第二章 极限论 第三讲 函数的连续性 ( The Continuity of function ) 阅读： 第二章 2.4 pp.44—50, 预习: 第三章 3.1 pp.51—58, 练习 pp49--50 习题 2.4: 1 至 8; 9, (1), (2), (3); 10, (1),(3); 14; 15. 作业 pp49--50 习题 2.4: 9, (4); 10, (2); 11; 12; 13. 2-4 函数连续的定义及其性质 2-4-1 函数连续性的定义 (1) 定义： 函数的连续性描述函数 y = f (x) 的渐变性态,在通常意义下，我们对函 数连续性有三种描述： 其一，当自变量 x 有微小变化时,其函数 y 的变化也是微小的； 其二, 自变量 x 的微小变化不会引起因变量 y 跳跃； 其三，从几何上理解,连续函数的图形可以一笔画成,无间断. 以上只是连续性的直观理解, 实质上是相意的反复, 在数学上要确切地 刻画函数连续性概念, 必须用极限作定量地描述: 定义 1: 设函数 f 在 0 x 的某邻域中有定义, 若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → , 则称函数 f 在点 0 x 连续, 0 x 称为是 f 的一个连续点; 否则就称 f 在点 0 x 间断, 0 x 称为是 f 的一个间断点. 注一: 函数 f 在点 x0 连续蕴含以下三个条件，缺一不可: (1) f 在 x0 的某邻域有定义; (2) f 在点 x0 的极限存在; (3) 极限值等于函数值。 以上三条中带本质性的是第二条极限的存在性。 注二：函数 f 在点 x0 连续意味着极限运算与函数运算可交换，即 lim ( ) (lim ) ( ) 0 0 0 f x f x f x x x x x = = → → 定义 2: 设函数 f 在 ( , ] 0 a x 有定义,且 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → − ,则称函数 f 在点 x0 左连续; 设函数 f 在 [ , ) x0 b 有定义,且 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → + ,则称函数 f 在点 x0 右连续