第二章极限论 定义3:如果函数∫在开区间(ab)中每一个点都连续,则称∫在 (a,b)连续记作f∈C(a,b); 如果函数∫在(a,b)连续,并且在点a右连续、在点b左连续, 称∫在闭区间[ab]上连续记作∫∈C[a,b 2)间断点分类: 根据间断点的不同情况,可以将间断点分成以下三类 1可去间断点 若lmnf(x)存在,但不等于∫(x0),称x0是∫的可去间断点 可去间断点是非本质上的间断,我们可改变∫(x0)的定义,令 f(x0)=lmf(x),这样x0就变成重新定义后的函数的连续点 sin x 例如f(x)= 在点x=0没定义,但lim sin x 1,因此0是 ∫的可去间断点如果令f(x)={x 0 则0是∫的连续点 0 第一类间断点: 如果lnf(x)与limf(x)都存在但不相等,则称xo是∫的第 x→ 类间斷点.此时,∫的函数值在x0发生跳跃,跃度等于 f(xo+0)-f(o-O)(ap lim f(x)-lim f(x)) 例如符号函数sgnx,在点x=0发生第一类间断取整函数在每 个整数点发生第一类间断 3第二类间断点 如果两个单侧极限lmf(x)与imf(x)中至少有一个不 x→x0 x→x0 存在,则称x是∫的第二类间断点 例如点x=0是函数∫(x)=-和g(x)=sn-的第二类间断点 2-4-2函数连续性的基本性质 (1)连续性定义的等价形式: 若函数∫在x0某邻域有定义,则以下命题是等价的 (A)函数∫在x连续; (B)f(x)=f(x)+o(), 第二章极限论第二章 极限论 第二章 极限论 定义 3: 如果函数 f 在开区间 (a,b) 中每一个点都连续, 则称 f 在 (a,b) 连续,记作 f C(a,b) ; 如果函数 f 在 (a,b) 连续,并且在点 a 右连续、在点 b 左连续, 称 f 在闭区间 [a,b] 上连续,记作 f C[a,b]. (2) 间断点分类： 根据间断点的不同情况,可以将间断点分成以下三类: 1 可去间断点: 若 lim ( ) 0 f x x→x 存在，但不等于 ( ) 0 f x ,称 0 x 是 f 的可去间断点。 可去间断点是非本质上的间断，我们可改变 ( ) 0 f x 的定义, 令 f (x0 ) = lim ( ) 0 f x x x → − , 这样 0 x 就变成重新定义后的函数的连续点. 例如 x x f x sin ( ) = 在点 x = 0 没定义,但 1 sin lim 0 = → x x x ,因此 0 是 f 的可去间断点.如果令      =  = 1 , 0 , 0 sin ( ) x x x x f x , 则 0 是 f 的连续点. 2 第一类间断点: 如果 lim ( ) 0 f x x x → − 与 lim ( ) 0 f x x x → + 都存在但不相等, 则称 0 x 是 f 的第 一类间断点 . 此时， f 的函数值在 0 x 发生跳跃, 跃度等于 ( 0) ( 0) f x0+ − f x0− (即 lim ( ) 0 f x x x → + lim ( ) 0 f x x x → − − ). 例如符号函数 sgn x , 在点 x = 0 发生第一类间断;取整函数在每 个整数点发生第一类间断. 3 第二类间断点: 如果两个单侧极限 lim ( ) 0 f x x x → − 与 lim ( ) 0 f x x x → + 中至少有一个不 存在,则称 0 x 是 f 的第二类间断点. 例如点 x = 0 是函数 x f x 1 ( ) = 和 x g x 1 ( ) = sin 的第二类间断点. 2-4-2 函数连续性的基本性质 (1) 连续性定义的等价形式： 若函数 f 在 x0 某邻域有定义，则以下命题是等价的： (A) 函数 f 在 x0 连续 ; (B) ( ) ( ) (1) f x = f x0 + o ;