第二章极限论 (C)函数∫在x既右连续,又左连续 (D)lm4(x)=0其中Ax=x-x0,M(x)=f(x)-f(x) (2)连续函数的有界性: 若函数∫在x连续,则∫在x的某邻域中有界,简称∫在x点有界 (3)单调函数的连续性: (A)若函数∫:[a,b]→>R是单调函数,若不连续,则只能有第 类间断点。(用到单调有界必有极限) (B)设函数∫:[a,b]→>R是单调(减)的函数,若函数的值域充 满区间[f(a),f(b)([f(b),f(a)),则∫是[a,b]上的连续 函数 (4)关于反函数的连续性 定理:(反函数的连续性)假定函数∫在[a,b]连续,单调增加(或单 调减少)则∫的值域是区间[c,d]=[f(a),∫(b)(或者 c,d]=[f(b)f(a))并且反函数x=f-(y)在区间[c,d连续 证明:(1)反函数x=f(y)的存在是易证的 且x=f(y)亦是单调函数 (2)今证连续性:由∫的连续性可知,f(x)取区间 c,d]=[f(a),f(b)所有值,加上x=∫-(y)是单调 函数,根据单调函数连续性质,可得 x=f(y)在区间[c,d]=[f(a,f(b)上连续。 证明要用到连续函数的介值定理。 (5)连续函数的运算性质: (A)设函数∫g在点x都连续,则 对于任意常数a,B,函数a∫+Bg也在点x连续 两个函数的乘积∫·g在点x0连续, 如果g(x)≠0,商一也在点x0连续 若x=g(t)在o连续,f(x)在x连续,且x=g(o),则 复合函数∫°g(注:(f°g)=f(g(1)在点连续 以上各结论可以由关于极限的运算法则推出 第二章极限论第二章 极限论 第二章 极限论 (C) 函数 f 在 x0 既右连续,又左连续 ; (D) lim ( 0 ) 0 0  =  → f x x 其中 0 x = x − x , ( ) ( ) ( ) 0 0 f x = f x − f x (2) 连续函数的有界性： 若函数 f 在 x0 连续, 则 f 在 x0 的某邻域中有界，简称 f 在 x0 点有界。 (3) 单调函数的连续性： (A) 若函数 f :[a,b] → R 是单调函数，若不连续，则只能有第一 类间断点。(用到单调有界必有极限) (B) 设函数 f :[a,b] → R 是单调 (减) 的函数，若函数的值域充 满区间 [ f (a), f (b)] ( [ f (b), f (a)] ), 则f是 [a,b] 上的连续 函数。 (4) 关于反函数的连续性： 定理: (反函数的连续性) 假定函数 f 在 [a,b] 连续,单调增加(或单 调减少 ), 则 f 的值域是区间 [c,d] = [ f (a), f (b)] ( 或 者 [c,d] = [ f (b), f (a)] ),并且反函数 ( ) 1 x f y − = 在区间 [c,d] 连续. 证明: (1) 反函数 ( ) 1 x f y − = 的存在是易证的, 且 ( ) 1 x f y − = 亦是单调函数。 (2) 今证连续性：由 f 的连续性可知， f (x) 取区间 [c,d] = [ f (a), f (b)] 所有值，加上 ( ) 1 x f y − = 是单调 函数, 根据单调函数连续性质，可得: ( ) 1 x f y − = 在区间 [c,d] = [ f (a), f (b)] 上连续。 证明要用到连续函数的介值定理。 (5) 连续函数的运算性质： (A) 设函数 f, g 在点 x0 都连续, 则 ⚫ 对于任意常数  ,  ,函数  f +  g 也在点 0 x 连续. ⚫ 两个函数的乘积 f  g 在点 0 x 连续; ⚫ 如果 g(x0 )  0,商 g f 也在点 0 x 连续. ⚫ 若 x = g(t) 在 0 t 连续, f (x) 在 0 x 连续, 且 ( ) 0 0 x = g t , 则 复合函数 f  g (注: (f  g)(t) = f (g(t)) ) 在点 0 t 连续. 以上各结论可以由关于极限的运算法则推出