第二章极限论 24-3初等函数的连续性 重要结论是:所有初等函数在其定义区间内都是连续的。 (1)基本初等函数的连续性 (A)由连续定义可验证基本初等函数:常数函数C,以及 inx,ex,hnx的连续性; 例:e的连续性问题,即欲证: e lm e=1 lm e=1 (B)用连续函数复合及单调函数的连续性证明基本初等函数 x=e/. Cosx= x. arcsin x. arccos. arctan x 的连续性 (C)用连续函数四则运算性质证明基本初等函数 tanx,cotx,secx,cscx的连续性; (2)初等函数的连续性: 最后运用连续函数的四则运算、复合运算就推出所有初等函数在 其定义区间内处处连续 研究初等函数y=√-Sm2x的连续性 (3)非初等函数及其连续性问题: fx≥0 xx<0’y=acsn(Simx)等是否是初等函 2-4-4在闭区间上连续函数的整体性质 (1)有界性和取最值定理 定理1:设f∈C[a,b],则f(x)在[a,b]有界 定理2:设∫∈C[a,b],则存在5,∈[a,b,使得 f(5)=Max{f(x)la≤x≤b} f()=Mm{f(x)a≤x≤b} 例1:设∫∈C[0,+∞),f(x)不恒等于零,lmf(x)=0求证下 列两个结论至少有一个成立 (1)存在5∈(0,+∞),使得 f∫(5)=max{f(x)|0≤x<+∞}>0; (2)存在n∈(0,+∞),使得 f(7)=mn{f(x)|0≤x<+o}<0 第二章极限论第二章 极限论 第二章 极限论 2-4-3 初等函数的连续性 重要结论是：所有初等函数在其定义区间内都是连续的。 (1) 基本初等函数的连续性： (A) 由连续定义可验证基本初等函数：常数函数 C, 以及 sin x, x e , ln x 的连续性; 例： x e 的连续性问题，即欲证: 0 0 lim x x x x e = e →  lim ( 1) 0 0 0 − = − → x x x x e  lim 1 0 =   → x x e  lim 1 1 = → n n e (B) 用连续函数复合及单调函数的连续性证明基本初等函数: p x = p x e ln , Cos x Sin x 2 = 1− , arcsin x , arccos x , arctan x 的连续性; (C) 用连续函数四则运算性质证明基本初等函数: tan x, cot x,sec x, csc x 的连续性; (2)初等函数的连续性： 最后运用连续函数的四则运算、复合运算就推出所有初等函数在 其定义区间内处处连续. 研究初等函数 y Sin x 2 = − 的连续性. (3)非初等函数及其连续性问题：    −   = = 0 , 0 x if x x if x y x ， y = arcsin(Sin x) 等是否是初等函 数？ 2-4-4 在闭区间上连续函数的整体性质 (1) 有界性和取最值定理 定理 1: 设 f C[a,b],则 f (x) 在 [a,b] 有界. 定理 2: 设 f C[a,b], 则存在  ,[a,b], 使得 f ( ) = Max{ f (x) | a  x  b} ; f () = Min{ f (x) | a  x  b}. 例 1: 设 f C[0,+) , f (x) 不恒等于零, lim ( ) = 0 →+ f x x .求证下 列两个结论至少有一个成立. (1) 存在   (0,+  ),使得 f ( ) = max{ f (x) | 0  x  +}  0 ; (2) 存在   (0,+  ),使得 f ( ) = min{ f (x) | 0  x  +}  0