定理5设∫,g是非负可测函数.则 ()cf=c「,(c≥0是实数 (ii).(+g)du=l fdu+ gdu i)若∫sgae,则∫」gd 证明()和(i)是显然的.下面证明(i).设{fn}和{gn}是非负简单函数列使得 fn↑∫,8n↑g.由于∫≤gae.,我们可适当选取{fn}和{gn}使得 fn≤gn,a.e,n≥1.于是由定理2(i),我们有 ∫=lmnJ4slim」g,d-sd 故(i)成立■ I.一般可测函数的积分 定义6设∫是一可测函数,广和厂分别是∫的正部和负部若∫广d和Jd 至少有一个是有限的,则称∫的积分存在,并定义∫关于测度的积分为 ∫=∫d丁f 当∫d和d都是有限值时,称∫是可积的设EcX是一可测集厂是定义在E 上的可测函数.若fg的积分存在(或可积),则称∫在E上的积分存在(相应地,可积)并定 义∫在E上的积分为 fd du= fedu 测度空间(X,分,以)上的可积函数的全体记为L(X,,4)或者简记为L() 注注意∫的积分存在与∫可积之间的区别.当∫的积分存在的时候,其积分值可能 是有限的,也可能为土∞.只有当∫可积的时候,其积分值才是有限的另外非负可测函数 的积分总是存在的,但积分值可能为+∞.之所以允许积分值为±∞,是因为这样处理有时 会带来一些方便.例如可以使得某些定理的条件叙述得更简明一些 当测度空间(X,,4)取为 Lebesgue测度空间(R",M(R"),m)时相应的积分称为 Lebesgue积分.∫在L可测集E上的L积分记为」Jd.设EcR是L可测集,E上的 L可积函数的全体记为L(E).又设F是一单调增加的右连续函数,pF是由F导出的94 定理 5 设 f , g 是非负可测函数. 则 (i). ∫ ∫ c fdµ = c fdµ , ( c ≥ 0 是实数). (ii). ∫ ∫ ∫ ( f + g)dµ = fdµ + gdµ. (iii). 若 f ≤ g a.e., 则 ∫ ∫ fdµ ≤ gdµ . 证明 (i) 和 (ii) 是显然的. 下面证明 (iii) . 设{ }n f 和{ } gn 是非负简单函数列使得 f f , n ↑ g g. n ↑ 由 于 f ≤ g a.e. , 我们可适当选取 { }n f 和 { } gn 使 得 f ≤ g , a.e., n ≥ 1. n n 于是由定理 2 (iii), 我们有 ∫ ∫ ∫ ∫ = ≤ = →∞ fdµ lim f dµ lim g dµ gdµ. n n n n 故(iii) 成立.■ III. 一般可测函数的积分 定义 6 设 f 是一可测函数, + f 和 − f 分别是 f 的正部和负部.若 µ ∫ + f d 和 ∫ − f dµ 至少有一个是有限的, 则称 f 的积分存在, 并定义 f 关于测度 µ 的积分为 ∫ ∫ ∫ + − fdµ = f dµ − f dµ. 当 µ ∫ + f d 和 ∫ − f dµ 都是有限值时, 称 f 是可积的.设 E ⊂ X 是一可测集, f 是定义在 E 上的可测函数. 若 E fI 的积分存在(或可积), 则称 f 在 E 上的积分存在(相应地,可积). 并定 义 f 在 E 上的积分为 E ∫ fdµ = E fI dµ ∫ . 测度空间(X , F ,µ) 上的可积函数的全体记为 L(X , F ,µ) 或者简记为 L(µ). 注 注意 f 的积分存在与 f 可积之间的区别. 当 f 的积分存在的时候, 其积分值可能 是有限的, 也可能为 ± ∞. 只有当 f 可积的时候, 其积分值才是有限的. 另外非负可测函数 的积分总是存在的, 但积分值可能为 + ∞. 之所以允许积分值为 ± ∞, 是因为这样处理有时 会带来一些方便. 例如可以使得某些定理的条件叙述得更简明一些. 当测度空间(X , F ,µ) 取为 Lebesgue 测度空间( , ( ), m) n n R M R 时,相应的积分称为 Lebesgue 积分. f 在 L 可测集 E 上的 L 积分记为 . E f dx ∫ 设 E ⊂ n R 是 L 可测集, E 上的 L 可积函数的全体记为 L(E). 又设 F 是一单调增加的右连续函数, µ F 是由 F 导出的