Lebesgue-Stieltjes测度,则称测度空间(R,',)上的积分为关于F的 Lebesgue- Stieltjes积分,定义6中定义的一般测度空间上的积分可以称为抽象 Lebesgue积分. 以后 Lebesgue积分简称为L积分, Lebesgue- Stieltjes积分简称为LS积分. 个自然的问题是,Rn上的 Lebesgue积分与我们熟悉的 Riemann积分有什么联系和区 别?在§44中我们将详细考察 Riemann积分与 Lebesgue积分的关系这里只考虑一个简单的 例子.设D(x)是区间[O,1上的 Dirichlet函数即D(x)=lo(x),其中Q。表示[O,1中的 有理数的全体.则由例1知道 Dd loo dx=m(2o)=0 即D(x)在[0,1上是 Lebesgue可积的并且积分值为零.但我们知道D(x)在[0,1]上不是 Riemann可积的 关于积分的性质在后面几节将系统讨论下面只给出关于函数可积性的几个结果 定理7设∫,g是可测函数 ()若g可积并且∫≤gae.或者∫≥gae.,则∫的积分存在 (i)若g可积,并且团八≤gae,则∫可积 (i)若(x)<+,(≤M<+ae,则f可积、即有界测度空间上的有界可测 函数必可积 证明()设∫sgae.则广≤g'ae.由于g可积因此g'd<+∞于是由 定理5(i)得到 ∫/ds∫g'd<+a 因此∫的积分存在类似可以证明若∫≥gae,则∫的积分存在 (1)若/sgae,则∫gae并且f≤gae.由于g可积,因此∫sd和 ∫gd都是有限的由定理5()知道广如和广d都是有限值的因此∫可积 (i).若(X)<+0,则常数函数g=M可积.由(i)即知∫可积■ 0若x<1 例2设F(x)= 又设f(x)=al=+blm+clu2其中a,b,c≥0 计算LS积分 fa (0,+∞ 解注意到(0+4)=alo+bl+c(121是非负简单函数.由积分的定义得到95 Lebesgue-Stieltjes 测 度 . 则称测度空间 ( , , ) 1 µ F ∗ R R 上的积分为关于 F 的 Lebesgue-Stieltjes积分, 定义6中定义的一般测度空间上的积分可以称为抽象Lebesgue积分. 以后 Lebesgue 积分简称为 L 积分, Lebesgue-Stieltjes 积分简称为 L-S 积分. 一个自然的问题是, n R 上的Lebesgue积分与我们熟悉的Riemann积分有什么联系和区 别? 在§4.4 中我们将详细考察 Riemann 积分与 Lebesgue 积分的关系.这里只考虑一个简单的 例子. 设 D(x) 是区间[0, 1]上的 Dirichlet 函数. 即 ( ) ( ), 0 D x I x = Q 其中Q0 表示[0, 1]中的 有理数的全体. 则由例 1 知道 0 0 [0,1] [0,1] ( ) 0. ∫ ∫ Ddx I dx m = == Q Q 即 D(x) 在[0, 1]上是 Lebesgue 可积的并且积分值为零. 但我们知道 D(x) 在[0, 1]上不是 Riemann 可积的. 关于积分的性质,在后面几节将系统讨论.下面只给出关于函数可积性的几个结果. 定理 7 设 f , g 是可测函数. (i).若 g 可积, 并且 f ≤ g a.e.或者 f ≥ g a.e., 则 f 的积分存在. (ii).若 g 可积, 并且 f ≤ g a.e., 则 f 可积. (iii).若 µ(X ) < +∞, f ≤ M < +∞ a.e., 则 f 可积. 即有界测度空间上的有界可测 函数必可积. 证明 (i).设 f ≤ g a.e. 则 a.e. + + f ≤ g . 由于 g 可积, 因此 . ∫ < +∞ + g dµ 于是由 定理 5 (iii) 得到 . ∫ ∫ ≤ < +∞ + + f dµ g dµ 因此 f 的积分存在. 类似可以证明若 f ≥ g a.e., 则 f 的积分存在. (ii). 若 f ≤ g a.e., 则 f ≤ g a.e. + 并且 f ≤ g a.e. − 由于 g 可积, 因此 ∫ + g dµ 和 ∫ − g dµ 都是有限的.由定理 5 (iii) 知道 ∫ + f dµ 和 ∫ − f dµ 都是有限值的. 因此 f 可积. (iii).若 µ(X ) < +∞, 则常数函数 g = M 可积. 由(ii) 即知 f 可积.■ 例 2 设    ≥ < = 1. 0 1 ( ) 2 x x x F x 若 若 又设 ( ) . ( ,1) {1} (1,2] f x = aI + bI + cI −∞ 其中 a,b,c ≥ 0. 计算 L-S 积分 (0, ) . F fdµ ∫ +∞ 解 注意到 (0, ) (0,1) {1} (1,2] fI = aI + bI + cI +∞ 是非负简单函数. 由积分的定义得到