EN(M),(O)s E(x-a)*-E(X-a) b-a 定理333:D00b下鞅收敛定理设{X,n}下鞅且 supEx川<,则存在几乎处 处有限的随机变量记为X。,使得P(lmXn=X)=1。从而若{xn,}为非负鞅, 则以概率1的有lmX,存在且有限 例3.31:(赌徒输光问题)一个赌徒参加公平的赌博,即若X是赌徒在n局之后 的赌金,=0(X0,X1…xn)为赌徒在n局后所掌握的信息,则{Xn兄}是鞅 现假设不能赊钱,且每一局至少赢或输1元。令N=min{n:Xn=xmn},表示赌 徒被强迫退出时已赌的局数。由于{xn}为非负鞅,由收敛定理,以概率1的 有 lim X存在且有限。又由于若N>n,则m-X≥1,因此P(N<a)=1 也就是以概率1赌徒最终要输光 34连续指标鞅 设(2只,P)为概率空间,}为一族单调增的子σ-代数,即若s<t,则 只c习;对任意t,X()为可测的,则称随机过程X()对于}是适应的 (adapted)o 定义341:随机过程{X(,120称为鞅,若对任意t,EX()<∞,且对任意 s<t,E(x())=X() 在一定条件下,前面离散指标鞅的一些定理可以平移到连续指标鞅的情形。b a E X a E X a EN X n n a b − − − − ≤ + + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 [ , ] r 定理 3.3.3：Doob 下鞅收敛定理 设{X n ,Fn }下鞅且 n < ∞ n sup E X ，则存在几乎处 处有限的随机变量记为 X ∞ ，使得 (lim = ∞ ) = 1 →∞ P X n X n 。从而若{X n ,Fn }为非负鞅， 则以概率 1 的有 n 存在且有限。 n X →∞ lim 例 3.3.1：(赌徒输光问题)一个赌徒参加公平的赌博，即若 是赌徒在n 局之后 的赌金， ) X n ( , , Fn = σ X0 X1 LX n 为赌徒在 局后所掌握的信息，则{ 是鞅。 现假设不能赊钱，且每一局至少赢或输 1 元。令 n Xn ,Fn } N = min{n : X n = X n+1}，表示赌 徒被强迫退出时已赌的局数。由于{X n ,Fn }为非负鞅，由收敛定理，以概率 1 的 有 n 存在且有限。又由于若 ，则 n X →∞ lim N > n 1 X n+1 − X n ≥ ，因此 。 也就是以概率 1 赌徒最终要输光。 P(N < ∞) = 1 3.4 连续指标鞅 设 (Ω,F, P) 为概率空间，{Ft }为一族单调增的子σ -代数，即若 ，则 ；对任意 t ， 为 可测的，则称随机过程 对于{ 是适应的 (adapted)。 s < t Fs ⊂ Ft X (t) Ft X (t) Ft } 定义 3.4.1：随机过程{X (t),Ft ,t ≥ 0}称为鞅，若对任意t ，E X (t) < ∞，且对任意 s < t ， E( ) X (t) X (s) Fs = 。 在一定条件下，前面离散指标鞅的一些定理可以平移到连续指标鞅的情形。 5