A0-A=0 33Doob可选定理及鞅的收敛 X,T≥n 设r为取非负整数值的停时,令xn=Xmm)=、x·称为随机过程Xn 在r处停止过程 引理331:设{xn}是鞅,则{xn,}也是鞅 定理331:Do0b可选停止定理( optional stopping theorem)设{xn元}是鞅,若 r≤aas为两个有界停时,则E(xm)=x, 证明:由于r≤σas.为有界停时,设一个上界为K =∑lmE(xk)=∑l=x,=X 同理E(Xk)=x1。注意到只c兄。故 (x17 =EE(xx)z)=(xxz)=x, 一般来说,停时有界的条件是不可缺少的。但如果{Xn}一致可积,则对任何两 个停时r≤aas,都有E(x)=x1, 定理3.2:( Doob optional sampling theorem)设{xn,n}是鞅, h≤1≤…≤tn≤…为非降有界停时,则{}是鞅。(X,称为 optional sampling process) 给定区间[a,序列X=(X1,…Xn)上穿[ab]区间的次数记为N°若 X=(X1,…Xn)为随机序列,则N2也是随机变量。 引理331:Doob上穿不等式( up-crossing inequality)设为{xn}下鞅,则M n − M n ′ = M n−1 − M n ′ −1 = L = M 0 − M 0 ′ = A0 ′ − A0 = 0。 3.3. Doob 可选定理及鞅的收敛 设τ 为取非负整数值的停时，令 ，称为随机过程 在 ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = = X n X n X X τ n n τ n τ τ τ , , min( , ) X n τ 处停止过程。 引理 3.3.1：设{X n ,Fn }是鞅，则{ n } τ X n , F 也是鞅。 定理 3.3.1：Doob 可选停止定理(optional stopping theorem ) 设{X n ,Fn }是鞅，若 τ ≤ σ a.s.为两个有界停时，则 ( ) E Xσ Fτ = X τ 。 证明：由于τ ≤ σ a.s.为有界停时，设一个上界为 K 。 ( ) { } { } ( ) { } ( ) { } ( ) σ { } σ σ σ σ σ σ σ σ I E X I X X E X E X I E X I E X I K i i i K i i K i K i K i i K i K i K i K K i = = = = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = = = = 1 1 1 1 1 F F F F F 同理 ( ) E X K Fτ = X τ 。注意到Fτ ⊂ Fσ。故 ( ) ( ( ) ) ( ) E Xσ Fτ = E E X K Fσ Fτ = E X K Fτ = X τ 。 一般来说，停时有界的条件是不可缺少的。但如果{X n }一致可积，则对任何两 个停时τ ≤ σ a.s.，都有 ( ) E Xσ Fτ = X τ 。 定 理 3.3.2 ： (Doob optional sampling theorem) 设 {X n ,Fn } 是鞅， t1 ≤ t2 ≤L ≤ tn ≤ L 为非降有界停时，则 { } n n Xt Ft , 是鞅。( 称为 optional sampling process) n Xt 给定区间 ，序列 上穿 区间的次数记为 。若 为随机序列，则 也是随机变量。 [a,b] ( , ) X X1 LX n r = [a,b] ( ) [ , ] n N a b ( , ) X X1 LX n r = ( ) [ , ] n N a b 引理 3.3.1：Doob 上穿不等式(up-crossing inequality) 设为{X n ,Fn }下鞅，则 4