Exn<∞且E(xm|)=xn。若E(xm1)≥xn,则称为下鞅 (sub-martingale) 若E(xn|)≤xn,则称为上鞅( super-martingale)o 显然,Y为鞅当且仅当它既是下鞅又是上鞅;若X为下鞅等价于-X,为 上鞅。 例321:设,F,…为任随机变量,X为随机变量且EH<∞。令 只=a(…1),Xn=E(x…y)=E(x2),则x相对于又为鞅。 基本性质 1){Xn,},{n}为鞅,则对任意常数ab,{aXn+by,}为鞅 2){xn}为鞅,则对任意m≤n,E(xn|)=X 3){Xxn,只}为鞅,则对任意n,EXn=EX0; 若{Xn只}为鞅,且对任意n,EX2<∞,则对任意≤m≤n, E(Xn-Xn)X1=0;此外对任意m≤n, E(Cx, -(am)=E(X:m) 定理3,2.1:Doob- Mever下鞅分解定理(sub- martingale decomposition theorem) 设{Xn只n,n≥0}是下鞅,则X可以唯一分解为Xn=Mn+An,其中Mn为鞅,An 是可预料的增过程(A0=0)。 证明:令an=E(xn)-xm≥0,令4=0,A=∑a为可测的,故A是 可预料的增过程。令M,=X-A,易证M,是鞅。往证分解唯一性。若 Xn=Mn+A1n=Mn+An,则Mn-Mn=An-An。一方面Mn-M"为鞅,故 E(Mn-Mf"an)=Mn1-Mn1,令一方面Mn-Mn=n-An为可测,故 E(Mn-M7-)=Mn-M",因此E X n < ∞且 ( ) E X n+1 Fn = X n 。若 ( ) E X n+1 Fn ≥ X n，则称为下鞅(sub-martingale)； 若 ( ) E X n+1 Fn ≤ X n，则称为上鞅(super-martingale)。 显然， 为鞅当且仅当它既是下鞅又是上鞅；若 为下鞅等价于 为 上鞅。 X n X n − X n 例 3.2.1 ： 设 Y0 ,Y1 ,L 为任随机变量， X 为随机变量且 E X < ∞ 。 令 ( , ) Fn = σ Y0 LYn ， ( ) ( ) X n = E X Y LYn = E X Fn , 0 ，则 X n 相对于Fn 为鞅。 基本性质： 1) { } X n ,Fn ，{Yn ,Fn }为鞅，则对任意常数a,b，{aXn + bYn ,Fn }为鞅; 2) {X n ,Fn }为鞅，则对任意m ≤ n， ( ) E X n+1 Fm = X m ； 3) {X n ,Fn }为鞅，则对任意n ， EXn = EX0； 4) 若 {X n ,Fn } 为鞅，且对任意 n ， EXn 2 < ∞ ，则对任意 l ≤ m ≤ n ， E(X n − X m )Xl = 0 ；此外对任意m ≤ n， ( ) ( ) 2 2 2 ( ) E X n − X m Fm = E X n Fm − X m。 定理 3.2.1：Doob-Meyer 下鞅分解定理(sub-martingale decomposition theorem) 设{X n ,Fn ,n ≥ 0}是下鞅，则 X n 可以唯一分解为 X n = M n + An，其中 为鞅， 是可预料的增过程( )。 M n An A0 = 0 证明：令 ( ) 0 an = E X n Fn−1 − X n−1 ≥ ，令 A0 = 0， 为 可测的，故 是 可预料的增过程。令 ∑= = n k An ak 1 Fn−1 An M n = X n − An ，易证 是鞅。往证分解唯一性。若 ，则 M n X n M n An M n An = + = ′ + ′ M n M n An − An − ′ = ′ 。一方面 M n − M n ′ 为鞅，故 ( ) −1 −1 −1 − ′ = − ′ E M n M n Fn M n M n ，令一方面 M n M n An − An − ′ = ′ 为 Fn−1 可测，故 ( ) E M n M n n M n M n − ′ = − ′ F −1 ，因此 3