Dynkin "random time independent of the future 性质 1.常值时间c为停时,此外若τ为停时,c≥0为常数,则r+c为停时 2.设r1,x2为停时,则1Ar2=min(r,x2),r1z2=max(x,x2)为停时 3.设r1,2为停时,则1+2为停时; 4.设τ1≤τ,≤…≤τ≤…为停时,则r= lim r为停时。 定义312:停时r的前事件σ域7定义为只={4∈只A∩{≤t∈,∈T} 直观上的含义:若随机事件A在时间τ前就知道是否发生,现在到了时间1, 若τ≤t,则当然应该知道随机事件A是否发生 定理31:r是只可测的,且在{=t上,只= 定理312:设ar为停时,则A∈兄→A∩{≤∈7,从而若a≤r则兄 32离散指标鞅 设(2只,P为概率空间,织}为一列单调增的子σ域(代数,即咒 随机变量序列{xn}称为对于织}是适应的 adapted),若对任意n,a(Xn)c, 即X是元可测的。对于随机变量序列{xn},总可以找到与之适应的单调增的 列σ域兄,此σ域兄称为一个“筛选”( filtration)例如取=σ(X0。X1…Xn) 若Xn对于单调增的又是适应的,我们用偶序对(Xn只)表示。称{xn}对于织}是 可预料的( predictable),若对任意n,X是n可测的 定义32.1:适应随机过程{Xn,n,n≥0},称为是鞅( martingale),如果对任意n,Dynkin “random time independent of the future” 性质： 1. 常值时间c 为停时，此外若τ 为停时，c ≥ 0 为常数，则τ + c为停时； 2. 设 1 2 τ ,τ 为停时，则 ( ) 1 2 1 2 τ ∧τ = min τ ,τ ， ( ) 1 2 1 2 τ ∨τ = max τ ,τ 为停时； 3. 设 1 2 τ ,τ 为停时，则 1 2 τ +τ 为停时； 4. 设τ 1 ≤ τ 2 ≤ L ≤ τ n ≤ L为停时，则 n n τ τ →∞ = lim 为停时。 定义 3.1.2：停时τ 的τ 前事件σ -域Fτ 定义为Fτ = {A∈ F：AI{τ ≤ t}∈ Ft ,t ∈T}。 Fτ 直观上的含义：若随机事件 A在时间τ 前就知道是否发生，现在到了时间t ， 若τ ≤ t ，则当然应该知道随机事件 A是否发生。 定理 3.1.1：τ 是Fτ 可测的，且在{τ = t}上，Fτ = Ft 。 定理 3.1.2：设σ,τ 为停时，则 A∈ F ⇒ A { ≤ }∈ Fτ σ τ σ I ，从而若σ ≤ τ 则Fσ ⊂ Fτ 。 3.2 离散指标鞅 设(Ω,F, P)为概率空间，{Fn }为一列单调增的子σ -域(代数)，即 ， 随机变量序列 称为对于{ 是适应的(adapted)，若对任意 ， Fn ⊂ Fn+1 {X n } Fn } n X n ⊂ Fn σ ( ) ， 即 X n 是Fn 可测的。对于随机变量序列{Xn }，总可以找到与之适应的单调增的一 列σ -域Fn ，此σ -域Fn 称为一个“筛选”(filtration)。例如取 ( , , ) Fn = σ X0 X1 LX n 。 若 对于单调增的 是适应的，我们用偶序对 表示。称{ 对于{ 是 可预料的(predictable)，若对任意n ， 是 可测的。 X n Fn ( , ) X n Fn } } Xn Fn } X n Fn−1 定义 3.2.1：适应随机过程{X n ,Fn ,n ≥ 0 ，称为是鞅(martingale)，如果对任意n ， 2