第三章鞅与停时 31停时可选时) 设(92,P)为基本概率空间,参数集T或为R=[0,∞)或为Z={012-} 令习,t∈T为一簇上升的σ-域,即对一切s,∈T,s<t,只c习c7 定义31:取值于R=RU{}或Z=Z,U{+∞}上的随机变量r称为(相对 于σ-域兄)停时(可选时)( stopping time or optional time),如果对每个 t∈R,:()≤l}={sl}e7(或者对每个n∈Z,{x≤n}∈元) 对于离散时间的停时有另外一个刻划:τ为停时若对每个 ∈Z,t=n}∈ 以z表示某个随机现象发生的时刻,事件{≤}表示该随机现象在t以前已 经发生,表示到时刻t所已知的信息,若r为停时,即t≤t∈习,表明该随机 现象(相对于σ-域习)是“可观察”的。 例3.1.1:某人在赌博时决定当胜局累计100次时停止赌博,停止赌博的时刻r是 一个随机时间,兄是赌到第n局时赌博者所能掌握的信息,{=n}依赖于前n局 的结果,故{=n}∈,r为停时。 例32:设随机过程XO),∈T样本路径连续,7=0(X(s):ss1),,=∩只。 设A为闭集,令可1=mn∈xO)∈小(约定空集时为+∞),表示过程首次进入 A的时刻,z称为首中时 hitting time),则z对于σ-域习是停时;若A为开集, 首中时工=inf∈rX()∈↓约定空集时为+∞,对于σ-域不是停时,但对 于σ-域习是停时;令r表示过程最后离开A的时刻,则r不是停时。第三章 鞅与停时 3.1 停时(可选时) 设(Ω, F, P) 为基本概率空间，参数集T 或为 = [0,∞) R+ 或为 ， 令 为一簇上升的 Z+ = { } 0,1,2L Ft ,t ∈T σ -域，即对一切s,t ∈T,s < t,Fs ⊂ Ft ⊂ F 。 定义 3.1.1：取值于 R+ = R+ U{+ ∞}或 Z+ = Z+ U{+ ∞}上的随机变量τ 称为(相对 于 σ -域 Ft )停时(可选时) (stopping time or optional time)，如果对每个 { } { } t t ∈ R+ , w:τ (w) ≤ t = τ ≤ t ∈ F (或者对每个n ∈ Z+ { ≤ n}∈ Fn , ) τ 。 对于离散时间的停时有另外一个刻划： τ 为停时若对每个 n ∈ Z+ { } = n ∈ Fn , τ 。 以τ 表示某个随机现象发生的时刻，事件{τ ≤ t}表示该随机现象在 以前已 经发生， 表示到时刻 所已知的信息，若 t Ft t τ 为停时，即{ } t τ ≤ t ∈ F ，表明该随机 现象(相对于σ -域Ft )是“可观察”的。 例 3.1.1：某人在赌博时决定当胜局累计 100 次时停止赌博，停止赌博的时刻τ 是 一个随机时间，Fn 是赌到第n 局时赌博者所能掌握的信息，{τ = n}依赖于前 局 的结果，故 n { } = n ∈ Fn τ ，τ 为停时。 例 3.1.2：设随机过程 X (t),t ∈T 样本路径连续， (X (s) : s t) Ft = σ ≤ ， 。 设 为闭集，令 I s t t s > F + = F A τ A = min{t ∈T X (t) ∈ A}(约定空集时为+ ∞ )，表示过程首次进入 A 的时刻， A τ 称为首中时(hitting time)，则 A τ 对于σ -域 是停时；若 为开集， 首中时 Ft A τ A = inf{t ∈T X (t) ∈ A}(约定空集时为+ ∞ )，对于σ -域 不是停时，但对 于 Ft σ -域Ft+ 是停时；令τ 表示过程最后离开 A 的时刻，则τ 不是停时。 1