Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 5 Calculations on definite inte YLMa@Phys. FDU 解一]I 1-cos(2x) (简单!) [解 SIn xax= dz 22i)g =(2x) R 2 1(-2)=2 Example 2. I dx (a>b>0) a+bcosx F(=)= 其中 +b . bi 2a 2+2z+1 2b=2(=-1)(x-2 5-+ ,1二2=1 b b [韦大定理:Ax2+Bx+C=0的两个根x1,x2满足xx2=C/A,x+x2=-B/A] 在单位圆(<1内F()有两个孤立奇点z=0(二阶奇点),z=1(-阶奇点 =2(-阶奇点)在单位圆(>1)外。因此,我们有 ReSF(=m(F()=(+)= ReSF(=)=lmn[(=-=)F(-)] 2bi 1=2ri.[ResF(O)+ResF(=)]=2mil 2丌 bi 三个引理: 引理1(大圆弧引理)如果f()在区域D:Rs|-d<∞,O≤argz-a)≤B2 上连续,且当x(z∈D)→∞时,(z-a)f(z)一致地趋于K,简记为(x-a)f(=)→K 则m[f()d=K(2-),其中C是以a为圆心,R为半径,夹角为B-的 圆弧,|-d=Ra≤ag(z-a)≤BMethods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 9 [解一] 2 d 2 1 cos(2 ) 0       x x I .（简单！） [解二] 2 1 2 2 2 3 1 z 1 2 2 3 0 1 1 1 1 ( 1) sin d d d 2 2 2 8 1 ( 1) 1 (2 ) Res = (2 ) ( 2) . 8 8 2 z z z z z I x x z z i iz i z z i i i z i                                                  展开 Example 2. d (a b 0) cos 2 sin 0 2       x a b x x I . [解]        2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 ( ) 2 2 2 1 2 z z i z z F z iz bi bi z z z z z z z a a b z z z b                             , 其 中 2 2 2 2 1 2 , , a a b a a b z z b b         1 2 z z 1. [韦大定理: 2 Ax Bx C    0 的两个根 1 2 x x, 满足 1 2 1 2 x x C A x x B A     / , / ]. 在单位圆 ( z  1) 内 F(z) 有两个孤立奇点: z  0 （二阶奇点）， 1 z  z （一阶奇点）。 2 z z  （一阶奇点）在单位圆 ( 1) z  外。因此，我们有   2 1 2 2 0 d 1 Res (0) lim ( ) . z d 2 a F z F z z z  z bi ib          计算     1 2 2 1 1 1 2 2 1 Res ( ) lim ( ) . z z 2 i F z z z F z z z a b  bi b            计算     2 2 1 1 2 1 2 2 Res (0) Res ( ) 2 2 . 2 I i F F z i z a a b bi b                   三个引理： 引理 1(大圆弧引理):如果 f (z) 在区域 D：R  z  a  ， 1 2   arg(z  a)  上连续，且当 z z( D)   时， (z  a) f (z) 一致地趋于 K ，简记为 ( ) ( ) , z a f z K   则   d 2 1 lim ( )      f z z iK R CR ，其中 CR 是以 a 为圆心， R 为半径，夹角为  2 1 的 圆弧， 1 2 z a R z a      , arg( ) .  