《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 第六章微分中值定理及其应用 引言 在前一章中，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法.这样一来，类似于求 己知曲线上点的切线问题已获完美解决但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题， 那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具 另一方面，我们注意到：(1)函数与其导数是两个不同的的函数：(2)导数只是反映函数 在一点的局部特征：(3)我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛 盾？需要在导数及函数间建立起一一联系一一搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的 应用. §6.1微分中值定理 教学章节：第六章微分中值定理及其应用一一§6.1微分中值定理 教学目标：学握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之 间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明 教学方法：系统讲解法。 教学过程： 一、一个几何命题的数学描述 为了了解中值定理的背景，我们可作以下叙述：弧AB上有一点P,该处的切线平行与弦AB. 如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？ 联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”，故如建立坐标系，则弧AB的函数是y=f(x),x∈[a,b] 的图像，点P的横坐标为x=5.如点P处有切线，则f(x)在点x=5处可导，且切线的斜率为f"(5): 另一方面，弦B所在的直线斜率为-@，曲线yf闭上点P的切线平行于弦 b-a B台f=f6)-f@ b-a 《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 3 第六章 微分中值定理及其应用 引言 在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求 已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题, 那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数 在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛 盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的 应用. §6.1 微分中值定理 教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.1 微分中值定理 教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之 间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程： 一、一个几何命题的数学描述 为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧 AB 上有一点 P,该处的切线平行与弦 AB. 如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？ 联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧 AB 的函数是 y=f(x),x  [a,b] 的图像,点 P 的横坐标为 x =  .如点 P 处有切线,则 f(x)在点 x =  处可导,且切线的斜率为 f ( )  ; 另一方面,弦 AB 所 在的直线斜 率为 f b f a ( ) ( ) b a − − ,曲线 y=f(x)上点 P 的切线 平行于弦 AB  ( ) ( ) ( ) f b f a f b a  −  = −