《数学分析多上册教整 第六音微分中值定理及其应用 海南大学数学系 撒开上述几何背景，单单观察上述数量关系，可以发现：左边仅涉及函数的导数，右边仅涉及 函数在端点的函数值.这样这个公式就把函数及其导数联系起来.在二者之间架起了一座桥梁， 这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础.鉴于5∈（α，b),故把类似公式称为“中值 公式”：把类似的定理称为中值定理. 剩下的问题是：中值定理何时成立呢？观察如下事实，可以发现：如果y=f(x)在[a,b]上不 连续或不可导（无切线），是不一定有上述结论的.换言之，如保证类似点P存在，曲线弧AB至 少是连续的，而且处处有切线.反映到函数y=f(x)上，即要求y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内 可导， 二、中值定理 Lagrange中值定理若函数f满足以下条件：(1)f在[a,b]上连续：(2)f在(a,b)内可 导.则在a,b)内至少存在一点5，使得了⑤=)-@ b-a 特别地，当f(a)=f(b)时，有如下Rolle定理： Rol1e定理若f满足如下条件：(1)fe[a,b]:(2)f在(a,b)内可导：(3)f(a)=f(b), 则存在5∈(a,b),使得f'(5)=0 如把曲线弧AB用参数方程函数，则可得出以下中值定理： Cauchy定理若函数f,g(x=g(u,y=f(u),ue[a,b])满足如下条件：(1)了，g∈[a,b]: (2)f,g在(a,b)内可导：(3)f,g至少有一个不为0：(4)g(a)≠gb).在存在5∈(a,b),使 得/（但=f6)-fa) g()g(b)-8(a) 说明(1)几何意义：Rol1:在每一点都可导的连续曲线，如果曲线两端点高度相同，则至 少存在一水平切线（在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线）；Lagrang:可微曲线上存在一点， 使其切线平行于端点的连线：Cauchy:视为曲线的参数：u=f(x),v=g(x),xe[a,b],则以v为横坐 标，“为纵坐标可得曲线上有一点，该处切线与曲线端点连线平行. (2)三个定理关系如下： Role←Lagrang←at_-Cauchy (3)三个定理中的条件都是充分但非必要.以Rol1e定理为例，三个条件缺一不可.1)不可 导，不一定存在：2)不连续，不一定存在；3)f()≠f6),不一定存在.“不一定存在”意味着一 般情况如下：Rol1e定理不再成立.但仍可知有f()=0的情形发生.如y=sgmx,x∈[-l,1]不满 4《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 4 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及 函数在端点的函数值.这样这个公式就把函数及其导数联系起来.在二者之间架起了一座桥梁, 这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础.鉴于  ( , ) a b ,故把类似公式称为“中值 公式”;把类似的定理称为中值定理. 剩下的问题是：中值定理何时成立呢？观察如下事实,可以发现：如果 y=f(x)在[a,b]上不 连续或不可导（无切线）,是不一定有上述结论的.换言之,如保证类似点 P 存在,曲线弧 AB 至 少是连续的,而且处处有切线.反映到函数 y=f(x)上,即要求 y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内 可导. 二、中值定理 Lagrange 中值定理 若函数 f 满足以下条件：（1）f 在[a,b]上连续;（2）f 在(a,b)内可 导.则在(a,b)内至少存在一点  ,使得 ( ) ( ) ( ) f b f a f b a  −  = − . 特别地,当 f(a)=f(b)时,有如下 Rolle 定理： Rolle 定理 若 f 满足如下条件：（1）f  [a,b];（2）f 在(a,b)内可导;（3）f(a)=f(b), 则存在   (a,b),使得 f ( ) 0  = . 如把曲线弧 AB 用参数方程函数,则可得出以下中值定理： Cauchy 定理 若函数 f,g（x＝g(u),y＝f(u),u  [a,b]）满足如下条件：（1） f g a b , [ , ]  ; （2）f,g 在(a,b)内可导;（3） f g   , 至少有一个不为 0;（4）g(a)  g(b).在存在   (a,b),使 得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f b f a g g b g a    − =  − . 说明（1）几何意义：Rolle：在每一点都可导的连续曲线,如果曲线两端点高度相同,则至 少存在一水平切线（在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线）;Lagrang：可微曲线上存在一点, 使其切线平行于端点的连线;Cauchy：视为曲线的参数;u=f(x),v=g(x),x  [a,b],则以 v 为横坐 标,u 为纵坐标可得曲线上有一点,该处切线与曲线端点连线平行. （2）三个定理关系如下： f a f b g x x ( ) ( ) ( ) Rolle Lagrang Cauchy ⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ = = （3）三个定理中的条件都是充分但非必要.以 Rolle 定理为例,三个条件缺一不可.1）不可 导,不一定存在;2）不连续,不一定存在;3）f(a)  f(b),不一定存在.“不一定存在”意味着一 般情况如下：Rolle 定理不再成立.但仍可知有 f ( ) 0  = 的情形发生.如 y=sgnx,x  [-1,1]不满