《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 足Ro1le定理的任何条件，但存在无限多个：e(~l,1),使得f()=0. (4)Lagrang定理中涉及的公式：⑤=b)-fL@称之为“中值公式”，这个定理也称 b-a 为微分基本定理.中值公式有不同形式：(i)f(b)-f(a)=f'(5)b-a),5∈(a,b):(ii) f(6)-f(a)=f(a+(b-a)06-a),0<0<1;(ii)f(a+h)-f(a)=f"(a+0h)h,0<0<1.此处，中值 公式对a<b,a>b均成立.此时5在a,b之间；(i)、(ⅲ)的好处在于无论a,b如何变化，0e(0,) 易于控制。 三、极值 定义3（极值）若函数f在区间I上有定义，x。∈1.若存在x的邻域U(x),使得对于任 意的xeU(x),有f(x)≥f(x),则称f在点x,取得极大值，称点x,为极大值点.若存在x的邻域 U(),使得对于任意的x∈U(x),有fx)≤fx),则称f在点x取得极小值，称点，为极小值 点 极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点. 注1、极值是局部性概念，若fx)是极值，是和x点附近的函数值比较而言的，和离x较远 的地方无关：最值显然是对整个区间而言的，是整体概念. 2、闭区间[a,b]上的连续函数必有最值，且最大值和最小值各有一个，最大值小于最小值（常 函数除外)，但可能无极值.即使有极值，也可能不止一个，极小值也可能大于极大值.因此若f() 是函数的最值，则f(a)不可能是极值：若fx)（x,∈(a,b)是函数的最值，则一定是极值.（即 最值不一定是极值，反之，极值也不一定是最值，因此极值有很多，但若极值只有一个，即为最 值.) 极值存在的必要条件一一费马(Fermat)定理 费马定理若函数在点x的邻域内有定义，且在点x可导.若x为￡的极值点，则比有 "(x)=0.(即可导极值点的导数为零.)其几何意义：可导极值点出的切线平行于x轴)，称 满足方程f"(x)=0的点为稳定点 正明无妨设f)为极大值，则当△x>0时，且。+Ar∈U)时，有 f+△)-fx)s0 △x 《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 5 足 Rolle 定理的任何条件,但存在无限多个   (-1,1),使得 f ( ) 0  = . （4）Lagrang 定理中涉及的公式： ( ) ( ) ( ) f b f a f b a  −  = − 称之为“中值公式”.这个定理也称 为微分基本定理.中值公式有不同形式：（ⅰ）f(b)-f(a)= f ( )  (b-a) ,   (a,b);（ⅱ） f(b)-f(a)= f a b a b a ( ( ) )( ) + − −  ,0<  <1;（ⅲ）f(a+h)-f(a)= f a h h ( ) + ,0<  <1. 此处,中值 公式对 a<b,a>b 均成立.此时  在 a,b 之间;（ⅱ）、（ⅲ）的好处在于无论 a,b 如何变化, (0,1) 易于控制. 三、极值 定义 3（极值） 若函数 f 在区间 I 上有定义, 0 x I  .若存在 0 x 的邻域 0 U x( ) ,使得对于任 意的 0 x U x  ( ),有 0 f x f x ( ) ( )  ,则称 f 在点 0 x 取得极大值,称点 0 x 为极大值点.若存在 0 x 的邻域 0 U x( ) ,使得对于任意的 0 x U x  ( ),有 0 f x f x ( ) ( )  ,则称 f 在点 0 x 取得极小值,称点 0 x 为极小值 点. 极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点. 注 1、极值是局部性概念,若 0 f x( ) 是极值,是和 0 x 点附近的函数值比较而言的,和离 0 x 较远 的地方无关;最值显然是对整个区间而言的,是整体概念. 2、闭区间[a,b]上的连续函数必有最值,且最大值和最小值各有一个,最大值小于最小值（常 函数除外）,但可能无极值.即使有极值,也可能不止一个,极小值也可能大于极大值.因此若 f(a) 是函数的最值,则 f(a)不可能是极值;若 0 f x( ) （ 0 x a b ( , ) ）是函数的最值,则一定是极值.（即 最值不一定是极值,反之,极值也不一定是最值,因此极值有很多,但若极值只有一个,即为最 值.） 极值存在的必要条件――费马（Fermat）定理 费马定理 若函数在点 0 x 的邻域内有定义,且在点 0 x 可导.若 0 x 为 f 的极值点,则比有 0 f x ( ) 0 = .（即可导极值点的导数为零.）其几何意义：可导极值点出的切线平行于 x 轴）,称 满足方程 0 f x ( ) 0 = 的点为稳定点. 证明 无妨设 ( ) 0 f x 为极大值,则当 x  0 时,且 ( ) 0 0 x + x U x 时,有 0 ( ) ( ) 0 0   +  − x f x x f x