《数学分析》上册教坐 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 令△r→0*，得f"(x)≤0 f,+A-fwl≥0 当△x<0时，有 △x 令△x→0，得f(x)20,由此推得f(x)=0 Fermat定理表明导数为0是极值必要条件，但是如果f(x)∈Ca,)],那么它能达到最大值， 如果它又可导，在(a,b)内(x)=0只有一个根，则比较f(a),f(xo),f(b)就可定出最大值. 由费马定理可知，可导极值点是稳定点，反之不然.如f(x)=x,点x=0是稳定点，但不是极 值点 达布(Darboux)定理（导函数的介值定理）若函数f在[a,b]上可导，且f(a)≠f(b),k 为介于f(a)和(b)之间的任一实数，则至少存在一点5∈(a,b),使得f(5)=k。 四、中值定理的证明 (一）Ro11e定理 证明因为f)eC[a,],fx)在[a,b]上有最大值M与最小值m,如果M=m,则 f)=M,这时fx)=0,可取a,)中任意一点作为5，如果M>m,其中至少有一个不等于 f(a)=f(b),不妨设M>f(a）,我们假定fx)在5∈(a,b)取到最大值，f(5)=M,即5为一个极 值点，且f'(5)存在，由下ermat定理，f'(5)=0。 (仁）)Lagrange中值定理 证明作辅助函数 f(x)x1 G(x)=f(a)a 1 f(b)b 1 它有明显几何意义，即它表示连接三点f(x)x)(f(),a,(f(b),b的三角形面积之二倍， 那么G(x)∈C[a,b],在(a,b)可导，且Ga=Gb)=0,用Rolle定理，35∈(a,b),使得G'()=0, 即 f()10 f(a)a 1=0 f(b)b 1 ()-(D-fa) b-a 辅助函数造法很多，比如可以用以下方法《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 6 令 → + x 0 ,得 f (x0 )  0 . 当 x  0 时,有 0 ( ) ( ) 0 0   +  − x f x x f x .令 → − x 0 ,得 f (x0 )  0 ,由此推得 f (x0 ) = 0 . Fermat 定理表明导数为 0 是极值必要条件,但是如果 f (x) C[a,b],那么它能达到最大值, 如果它又可导,在 (a,b) 内 f (x) = 0 只有一个根,则比较 f (a) , ( ) 0 f x , f (b) 就可定出最大值. 由费马定理可知, 可导极值点是稳定点,反之不然.如 3 f x x ( ) = ,点 x=0 是稳定点,但不是极 值点. 达布（Darboux）定理（导函数的介值定理） 若函数 f 在[a,b]上可导,且 f a f b ( ) ( ) + −    ,k 为介于 f a( ) +  和 f b( ) −  之间的任一实数,则至少存在一点  ( , ) a b ,使得 f k ( )  = . 四、中值定理的证明 (一) Rolle 定理 证 明 因为 f (x) C[a,b] , f (x) 在 [a,b] 上有最大 值 M 与最小值 m ,如果 M = m ,则 f (x) = M ,这时 f (x) = 0 ,可取 (a,b) 中任意一点作为  ,如果 M  m ,其中至少有一个不等于 f (a) = f (b).不妨设 M  f (a) ,我们假定 f (x) 在   (a,b) 取到最大值, f ( ) = M ,即  为一个极 值点,且 f ( ) 存在,由 Fermat 定理, f ( ) = 0 . (二) Lagrange 中值定理 证明 作辅助函数 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) f b b f a a f x x G x = , 它有明显几何意义,即它表示连接三点 ( f (x), x), ( f (a),a), ( f (b),b) 的三角形面积之二倍, 那么 G(x) C[a,b] ,在 (a,b) 可导,且 G(a) = G(b) = 0 ,用 Rolle 定理,  (a,b) ,使得 G( ) = 0 , 即 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 0 =  f b b f a a f  , b a f b f a f − −  = ( ) ( ) ( ) . 辅助函数造法很多,比如可以用以下方法