《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 F()-f)-[fa)-fa-fb-a) a-b D(x)=[f(x)-f(a)l(b-a)-(x-a)[f(b)-f(a)]. Y(x)=f(xXb-a)-x[f(b)-f(a)]. 然后借助于Rolle定理都可证明Lagrange定理. f(a)-f(b 注释量a-b 表示连接两点A(a,f(a》和B(b,f(b》的弦的斜率，不管a<b还是a>b 都对.Lagrange定理表明存在(a,b)中一点，使∫'()恰等于这个斜率，Lagrange定理也称 Lagrange公式，它也可以写成f(x)=f(a)+f'(5(x-a),其中5介于x与a之间，它可以看成用 线性函数fa)+f(5r-a)在a局部对fm)的逼近.它还可写成 f(b)=f(a)+fTa+0(b-a)l(b-a) f(a+h)=f(a)+f'(a+eh)h 其中0<0<1，h=b-a. 这里5=a+0A,只要指出0=货满足0<0<1.当>0 时，a<5<a+h,0<5-a<h,0<<1,得0<0<1.当h<0时，a+h<5<a, 0<a-5<-h,0<<1,得0<0<1. (三)Cauchy定理 1(b)-f(a 正明对f和8分别应用Lagrange定理，我们可得g(b)-g(a)g'(),这里东与5，可能 不一样，这是一条错误之路，本定理关键要求是一致的5.作函数 f(x)g(x)1 G(x)=f(a)g(a)1 f(b)g(b)1 [X=f(x) 它的几何意义是在参数曲线Y=8)上，三点{U,gx》,a,ga》, b,gb}连成的三角形面积之二倍.则G()满足Rol1le定理条件，故5∈(a,b),使得 G'⑤=0，即g'5f)-fa=f(5[g)-ga】,得i证. 注1与Lagrange定理证明类似，我们也可借助其它形式的辅助函数，比如用 《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 7       − − − = − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a a b f a f b F x f x f a , (x) = [ f (x) − f (a)](b − a) − (x − a)[ f (b) − f (a)], (x) = f (x)(b − a) − x[ f (b) − f (a)] . 然后借助于 Rolle 定理都可证明 Lagrange 定理. 注释 量 a b f a f b − ( )− ( ) 表示连接两点 A(a, f (a)) 和 B(b, f (b)) 的弦的斜率,不管 a  b 还是 a  b 都对.Lagrange 定理表明存在 (a,b) 中一点,使 f ( ) 恰等于这个斜率,Lagrange 定理也称 Lagrange 公式,它也可以写成 f (x) = f (a) + f ( )( x − a) ,其中  介于 x 与 a 之间,它可以看成用 线性函数 f (a) + f ( )( x − a) 在 a 局部对 f (x) 的逼近.它还可写成 f (b) = f (a) + f [a + (b − a)](b − a) , f (a + h) = f (a) + f (a + h)h , 其中 0  1, h = b − a . 这里  = a + h ,只要指出 h −a =   满足 0  1.当 h  0 时, a    a + h , 0   − a  h , 0   1 − h  a ,得 0  1.当 h  0 时, a + h    a , 0  a −  −h , 0   1 − − h a  ,得 0  1. (三) Cauchy 定理 证明 对 f 和 g 分别应用 Lagrange 定理,我们可得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   g f g b g a f b f a   = − − ,这里 1  与  2 可能 不一样,这是一条错误之路,本定理关键要求是一致的  .作函数 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) f b g b f a g a f x g x G x = , 它的几何意义是在参数曲线    = = ( ) ( ) Y g x X f x 上,三点 {( f (x), g(x)), ( f (a), g(a)), ( f (b), g(b))} 连成的三角形面积之二倍.则 G(x) 满足 Rolle 定理条件,故  (a,b) ,使得 G( ) = 0 ,即 g( )[ f (b) − f (a)] = f ( )[g(b) − g(a)] ,得证. 注 1 与 Lagrange 定理证明类似,我们也可借助其它形式的辅助函数,比如用