《数学分析》上册教坐 第六音微分中值定理及其应用 海喇大学数学系 F(x)=f(x)Ig(b)-g(a)]-g(x)If(b)-f(a)]. 注2g()=x时，Cauchy定理推出Lagrange定理. 注3不管a>b还是a<b,Cauchy定理都可写成 f(b)-f(a)f(a+o(b-a))f'(a+oh) g(b)-g(a)g'(a+0(b-a))g'(a+eh) 其中h=b-a,0<8<1. 五、中值定理的一些推论及中值定理的应用初步 (一)Ro11e定理的推论 若f在[x,x]上连续，在(x,x）内可导，fx)=fx)=0,则存在5∈(x,x),使得 "()=0(简言之：可导函数的两个之间必有导数的零点) (二)Lagrang定理的推论 推论1若函数f在区间I上可导，且f(x)=0,x∈I,则f为I上的一个常量函数. 证明Lagrange定理给出，xe[a,b],f(x)-f(a)=f'(5(x-a)=0(a<5<b),由此得 f(x)=f(a)=C 几何意义：斜率处处为0的曲线一定是平行于x轴的直线。 简单应用：证明：()在[-l,】上恒有：aresin+arccos=7 （2)在(-+树)上框有：arctan+acax=号 推广若f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)中除有限个点外有f'(x)=0,则f在I上是 常数函数. 推论2若函数f和g均在I上可导，且∫"(x)=g'(x),x∈I,则在区间I上f(x)与g(x)只差 一个常数，即存在常数C,使得fx)=g(x)+C. 证明对(x)-(x)应用推论1即得. 推论3（导数极限定理）设函数f在点x的某邻域U(x)内连续，在U(x)内可导，且 Iimf(x)存在，则f在点x可导，且f(x)=limf(x). 应用一：关于方程根的讨论（存在性）一一主要应用Ro11e定理 例1设f为R上的可导函数，证明：若方程∫'(x)=0没有实根，则方程f(x)=0至多只有- 个实根。《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 8 F(x) = f (x)[g(b) − g(a)] − g(x)[ f (b) − f (a)]. 注2 g(x) = x 时,Cauchy 定理推出 Lagrange 定理. 注3 不管 a  b 还是 a  b,Cauchy 定理都可写成 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) g a h f a h g a b a f a b a g b g a f b f a      +  + =  + −  + − = − − , 其中 h = b − a , 0  1. 五、中值定理的一些推论及中值定理的应用初步 (一) Rolle 定理的推论 若 f 在[ 1 x , 2 x ]上连续,在( 1 x , 2 x )内可导, 1 2 f x f x ( ) ( ) 0 = = ,则存在 1 2  ( , ) x x ,使得 f ( ) 0  = （简言之：可导函数的两个之间必有导数的零点）. (二) Lagrang 定理的推论 推论 1 若函数 f 在区间 I 上可导,且 f x ( ) 0 = , x I  ,则 f 为 I 上的一个常量函数. 证明 Lagrange 定理给出,x [a,b], f (x) − f (a) = f ( )( x − a) = 0 (a    b) ,由此得 f (x)  f (a)  C . 几何意义：斜率处处为 0 的曲线一定是平行于 x 轴的直线. 简单应用：证明：（1）在[-1,1]上恒有： arcsin arccos 2 x x  + = , （2）在 ( , ) − + 上恒有： arctan arccot 2 x x  + = 推广 若 f(x)在区间[a,b]上连续,且在（a,b）中除有限个点外有 f x ( ) 0 = ,则 f 在 I 上是 常数函数. 推论 2 若函数 f 和 g 均在 I 上可导,且 f x g x   ( ) ( ) = , x I  ,则在区间 I 上 f(x)与 g(x)只差 一个常数,即存在常数 C,使得 f x g x C ( ) ( ) = + . 证明 对 f (x) − g(x) 应用推论 1 即得. 推论 3 （导数极限定理）设函数 f 在点 0 x 的某邻域 0 U x( ) 内连续,在 0 U x( ) 内可导,且 0 lim ( ) x x f x →  存在,则 f 在点 0 x 可导,且 0 0 ( ) lim ( ) x x f x f x →   = . 应用一：关于方程根的讨论（存在性）――主要应用 Rolle 定理 例 1 设 f 为 R 上的可导函数,证明：若方程 f x ( ) 0 = 没有实根,则方程 f(x)=0 至多只有一 个实根