《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 例2设fe[a,b],在[a,b1连续可微，在(a,b)二阶可微，且f(a)=fb)=f(a=0,证明： f"(x)=0在(a,b)中至少有一个根。 例3已知6+号++n车=0，证明：p代)=c+G+cr++c,r=0至少有一正实根 例4设fx)=x-2x2+x,证明f"(x)于(0,1)中至少有一根. 应用二：证明中值点的存在性： 例1设函数∫在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则35∈(a,b),使得 f(b)-f(a)-gh2.f). 证在Cauch邮中值定理中取g(x)=hx. 例2设函数f在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且有f(a)=f(b)=0. 试证明：5∈(a,b),)f(5)-f'(5)=0, 例3设f在[a,b](a>0)上连续：在(a,b)内可导，则存在Ee(a,b),使得 ro-fa=5r5h合 例4设，x2>0,证明：35∈(x,x)满足xe-x,e=0-5)e(x-x). 应用二：用中值定理证明公式 例1证明：对一切D1,h≠0有公式年<0+)<h 例2证明：当地0时号<h号”片 例3证明：|sinx-sinylsx-yl,x,yeR. 例4设f在[0，a]一阶连续可微，在(0，a)二阶可微，且存在正数M使f"(x)sM,又设f在 (0,a)存在稳定点c,证明：If"(o)川+lf"(a)sM恤. 例5设函数/和g可导且了≠0，又8=0.则g=g (证明（三y=0.) 例6设对x,heR,有If(x+hM)-fx)川≤Mh2,其中M是正常数，则函数fx)是常值函 数.（证明∫'=0）. 《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 9 例 2 设 f [ , ] a b ,在 [ , ] a b 连续可微,在（a,b）二阶可微,且 f a f b f a ( ) ( ) ( ) 0 = = =  ,证明： f x ( ) 0 = 在(a,b)中至少有一个根. 例 3 已知 1 0 0 2 1 n c c c n + + + = + ,证明： 2 0 1 2 ( ) 0 n n p x c c x c x c x = + + + + = 至少有一正实根. 例 4 设 4 2 f x x x x ( ) 2 = − + ,证明 f x ( ) 于（0,1）中至少有一根. 应用二：证明中值点的存在性: 例 1 设函数 f 在区间 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导, 则  (a,b) , 使得 f (b) − f (a)  ln f ( ) a b =   . 证 在 Cauchy 中值定理中取 g(x) = ln x . 例 2 设函数 f 在区间 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导, 且有 f (a) = f (b) = 0 . 试证明:  (a,b),  f ( ) − f ( ) = 0 . 例 3 设 f 在[a,b]（a>0）上连续;在(a,b)内可导,则存在   (a,b),使得 f(b)-f(a)= ( )ln b f a   . 例 4 设 1 2 x x, 0  ,证明： 1 2   ( , ) x x 满足 2 1 1 2 1 2 (1 ) ( ) x x x e x e e x x  − = − −  . 应用二：用中值定理证明公式 例 1 证明：对一切 h>-1,h≠0 有公式 ln(1 ) 1 h h h h  +  + 例 2 证明：当 a>b>0 时, ln a b a a b a b b − −   . 例 3 证明： | sin sin | | | x y x y −  − ,  x y R , . 例 4 设 f 在[0,a]一阶连续可微,在(0,a)二阶可微,且存在正数 M 使 | ( ) | f x M   ,又设 f 在 (0,a)存在稳定点 c,证明： | (0) | | ( ) | f f a Ma   +  . 例 5 设函数 f 和 g 可导且 f (x)  0, 又 = 0. f  g  f g 则 g(x) = cf (x) . ( 证明 ( ) = 0 f g . ) 例 6 设对  x , h R ,有 2 | f (x + h) − f (x) |  Mh ,其中 M 是正常数,则函数 f (x) 是常值函 数. (证明 f  = 0 )