《数学分析》上册教鉴 第六音微分中值定理及其应用 南大学数学系 例7证明：若八)和g)在a,b】上连续，在(a,6)内可导，且8')0，则 3E∈(a,b),使得 (E))-f(a) g'(5)gb)-g9) (1) 分析先把上面(1)式改写为： f')g)+fg)g'传)-f")gb)-fa)g')=0. (2) 若令Mx)=f)g)-f)g)-f@g),则（②）式即为)=0.这样，问题就化为检 验Mx)在[a,b]上是否满足Rolle定理的条件， 证明由题设条件，上述()在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且有 Ma=-fa)gb)=hb)】 故3e(a,b),使得h')=0,即（②）式成立 又因8'()≠0，故由导函数的性质（具有介值性），8'(x)在(a,b)内不变号，由此推知(， 在(a,b)内严格单调：再由g()在【ab]上连续，所以g)又在【a,b]上严格单调。这就保 证了8)-8⑤)≠0.这样，便可由(2)式逆推至(1)式成立. 作业教材P124-1254-9:P132-1331一4.《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 10 例 7 证明: 若 f (x)和 g(x)在 [a, b ] 上连续,在 (a, b) 内可导,且 g  (x)  0 ,则  (a, b) ,使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −   − =     g b g f f a g f . (1) 分析 先把上面(1)式改写为: f () g() + f () g () − f () g(b) − f (a) g () = 0. (2) 若令 h(x) = f (x) g(x) − f (x) g(b) − f (a) g(x) , 则 (2) 式即为 h() = 0 . 这样,问题就化为检 验 h(x) 在[ a, b ] 上是否满足 Rolle 定理的条件. 证明 由题设条件,上述 h(x) 在[ a, b ] 上连续,在 (a, b) 内可导,且有 h(a) = − f (a) g(b) = h(b) . 故  (a, b) ,使得 h() = 0 ,即 (2) 式成立. 又因 g (x)  0 ,故由导函数的性质（具有介值性）, g (x) 在 (a, b) 内不变号,由此推知 g(x) 在 (a, b) 内严格单调;再由 g(x) 在 [ a, b] 上连续,所以 g(x) 又在 [ a, b] 上严格单调. 这就保 证了 g(b) − g()  0 . 这样,便可由（2）式逆推至（1）式成立. 作业 教材 P124—125 4—9 ;P132—133 1—4