侯公羽等：无数学模型的非线性约束单目标系统优化方法改进 ·1405. C-a,-7=0,je[1,n-k] (13) aR(u,b,5,°，a,a°，m,n2= w(r)=f0)= 芝(g-gK,Q)+6 (22) C-a°-m=0,je[1,n-k] (14) 当非线性约束单目标系统所求目标函数为最大 将式(11)~(14)带入式(10)中，可得到优化问 值时： 题的对偶问题： fitness(r)= minY(a,a)= mapminmax('reverse',w(r),outputps)(23) 当非线性约束单目标系统所求目标函数为最小 (a-a)(a-&)K(X0,X)+ 值时： 三ym(a-) fitness(r）= (15) l/mapminmax(‘reverse',w(r）,outputps) 约束条件： (24) (g-4)=0 把每组初始化的变量因素值作为对应粒子的个 (16) j=1 体极值p0=(p”,p”,…,p)'=(g”,9, 0≤a≤C,j∈[1，n-k] (17) …,9)(r∈{1,2，…，N}).把其中适应度函数 0≤a≤C,je[1,n-k] (18) 值最大的第g组变量因素值作为群体极值P)= 其中，Y(a,a)为函数R(u,b,5,°，a,a,7,n) (p,P,…,p4)T=（qP,9,…,q) 的对偶形式，K(X,X))是将X和X映射到高 根据式(25)和(26)来更新。”和g(r∈11,2， 维空间后的内积 …,N},i∈{1,2，…，m}) 选取合适的核函数，采用遗传算法选择ε，C以 。0=wn0+c1r1(p-gP)+c2(p-g0) 及核函数参数，基于训练样本点，求得最优解： (25) a=(a1,a,…,an-k,at)T (19) 900=90+0 (26) 偏置项b通过卡罗需-库恩-塔克条件(Karush- 其中，ω为惯性权重，c1、92为学习因子，1、2为[0， 1]内的均匀随机数. Kuhn-Tucker conditions,KKT)求解如下： 更新完成后，检查更新后的Q)和V是否满 b=y0-三(a-a)KXo,K)±e(20） 足约束条件，不满足条件的重新初始化.计算更新 后的粒子适应度值，更新个体极值和群体极值. 为降低计算误差，b取平均数五.由此可构造出 引入调节机制，选择规模为N的下一代群体： 能够预测非线性约束单目标系统的支持向量机回归 首先，从更新完成后的N个粒子中选择适应度值较 模型： 大的前N/2个粒子的Q和V(re{1,2,…,N/ f(X)= (e-)Kx0,x)+b(2) 2})保留，其次，对于适应度值较小的另外N/2个粒 i=1 子的Q和V(r∈{N/2+1,N/2+2,…,N})重 运用测试样本检测该模型预测系统的效果 新初始化，并计算适应度值.设置新初始化粒子个 (2)IPS0算法寻优. 体极值以及再更新群体极值，将保留下来的粒子和 非线性约束单目标系统包含m个变量，则粒子 新初始化的粒子组成下一代群体 空间维数设定为m维，空间中每个粒子的位置由这 循环迭代过程，至迭代次数结束.对于求目标 m个变量值组成.种群规模设为N,进行各粒子位 函数最大值的系统，最后一代的群体极值fitness(g) 置的初始化Q=(q,g,…,q)(r∈{1,2， 即为寻优目标函数值：而对于求目标函数最小值的， …,N}),即在满足系统约束条件下，初始化N组非 则最后一代的群体极值fitness(g)的倒数即为寻优 线性约束单目标系统变量值组合.同时要初始化每 的目标函数值 个粒子各方向的速度，即各变量后期变化值的初始 2.2核函数 化Vm=(0,,…,)T(r∈{1,2，…， 常用的核函数有： N}),并将速度控制在一定范围之内.运用得到的 (1)多项式函数. 该系统支持向量机回归模型计算各粒子的适应度值 K(z,h)=(zh+1) (27) fitness(r)(r∈{1,2，…，N}): 其中，d为多项式的阶数，z和h均为需映射到高维侯公羽等: 无数学模型的非线性约束单目标系统优化方法改进 C - 琢j - 浊j = 0,j沂[1,n - k] (13) 鄣R(u,b,孜,孜 * ,琢,琢 * ,浊,浊 * ) 鄣孜 * j = C - 琢 * j - 浊 * j = 0,j沂[1,n - k] (14) 将式(11) ~ (14)带入式(10)中,可得到优化问 题的对偶问题: minY(琢,琢 * ) = 1 2 移 n-k i,j = 1 (琢 * i - 琢i)(琢 * j - 琢j)K(X (i) ,X (j) ) + 着 移 n-k i = 1 (琢 * i + 琢i) - 移 n-k i = 1 y (i) (琢 * i - 琢i) (15) 约束条件: 移 n-k j = 1 (琢 * j - 琢j) = 0 (16) 0臆琢 * j 臆C,j沂[1,n - k] (17) 0臆琢j臆C,j沂[1,n - k] (18) 其中,Y(琢,琢 * )为函数 R(u,b,孜,孜 * ,琢,琢 * ,浊,浊 * ) 的对偶形式,K(X (i) , X (j) )是将 X (i)和 X (j)映射到高 维空间后的内积. 选取合适的核函数,采用遗传算法选择 着,C 以 及核函数参数,基于训练样本点,求得最优解: 琢 = (琢1 ,琢 * 1 ,…,琢n - k,琢 * n - k) T (19) 偏置项 b 通过卡罗需鄄鄄库恩鄄鄄塔克条件(Karush鄄鄄 Kuhn鄄鄄Tucker conditions,KKT)求解如下: b = y (j) - 移 n-k i = 1 (琢 * i - 琢i)K(X (i) ,X (j) ) 依 着 (20) 为降低计算误差,b 取平均数 b. 由此可构造出 能够预测非线性约束单目标系统的支持向量机回归 模型: f(X) = 移 n-k j = 1 (琢 * j - 琢j)K(X (j) ,X) + b (21) 运用测试样本检测该模型预测系统的效果. (2)IPSO 算法寻优. 非线性约束单目标系统包含 m 个变量,则粒子 空间维数设定为 m 维,空间中每个粒子的位置由这 m 个变量值组成. 种群规模设为 N,进行各粒子位 置的初始化 Q (r) = (q (r) 1 , q (r) 2 , …, q (r) m ) T (r沂{1, 2, …, N}),即在满足系统约束条件下,初始化 N 组非 线性约束单目标系统变量值组合. 同时要初始化每 个粒子各方向的速度,即各变量后期变化值的初始 化 V (r) = ( v (r) 1 , v (r) 2 , …, v (r) m ) T ( r 沂 { 1, 2, …, N}),并将速度控制在一定范围之内. 运用得到的 该系统支持向量机回归模型计算各粒子的适应度值 fitness(r) (r沂{1, 2, …, N}): w(r) = f(Q (r) ) = 移 n-k j = 1 (琢 * j - 琢j)K(X (j) ,Q (r) ) + b (22) 当非线性约束单目标系统所求目标函数为最大 值时: fitness(r) = mapminmax(‘reverse爷, w(r), outputps) (23) 当非线性约束单目标系统所求目标函数为最小 值时: fitness(r) = 1 / mapminmax (‘reverse爷, w(r), outputps) (24) 把每组初始化的变量因素值作为对应粒子的个 体极值 P (r) = ( p (r) 1 , p (r) 2 , …, p (r) m ) T = ( q (r) 1 , q (r) 2 , …, q (r) m ) T (r沂{1, 2, …, N}). 把其中适应度函数 值最大的第 g 组变量因素值作为群体极值 P (g) = (p (g) 1 , p (g) 2 , …, p (g) m ) T = ( q (g) 1 , q (g) 2 , …, q (g) m ) T . 根据式(25) 和(26) 来更新 v (r) i 和 q (r) i ( r沂{1, 2, …, N}, i沂{1, 2, …, m}). v (r) i = 棕v (r) i + c1 r1 (p (r) i - q (r) i ) + c2 r2 (p (g) i - q (r) i ) (25) q (r) i = q (r) i + v (r) i (26) 其中,棕 为惯性权重,c1 、c2 为学习因子,r1 、r2 为[0, 1]内的均匀随机数. 更新完成后,检查更新后的 Q (r) 和 V (r) 是否满 足约束条件,不满足条件的重新初始化. 计算更新 后的粒子适应度值,更新个体极值和群体极值. 引入调节机制,选择规模为 N 的下一代群体: 首先,从更新完成后的 N 个粒子中选择适应度值较 大的前 N/ 2 个粒子的 Q (r)和 V (r) (r沂{1, 2, …, N/ 2})保留,其次,对于适应度值较小的另外 N/ 2 个粒 子的 Q (r)和 V (r) (r沂{N/ 2 + 1, N/ 2 + 2, …, N})重 新初始化,并计算适应度值. 设置新初始化粒子个 体极值以及再更新群体极值,将保留下来的粒子和 新初始化的粒子组成下一代群体. 循环迭代过程,至迭代次数结束. 对于求目标 函数最大值的系统,最后一代的群体极值 fitness(g) 即为寻优目标函数值;而对于求目标函数最小值的, 则最后一代的群体极值 fitness( g)的倒数即为寻优 的目标函数值. 2郾 2 核函数 常用的核函数有: (1)多项式函数. K(z,h) = (z·h + 1) d (27) 其中,d 为多项式的阶数,z 和 h 均为需映射到高维 ·1405·