·1406· 工程科学学报，第40卷，第11期 空间的向量 用径向基函数，参数E、C以及径向基函数中的参数 (2)径向基函数 σ运用遗传算法进行优化选取，遗传算法中群体规 K(z,h)=exp(-Ih-z‖2/2σ2) (28) 模50，迭代次数100，采用实数编码，交叉概率为 其中，σ为核函数的宽度 0.4,变异概率为0.221，通过多次实验确定三个优 (3)感知器 化参数为：C取9.94，o取0.1，e取0.0001. K(z,h)=tanh(Bzh+b) (29) 运用200组样本训练SVM预测模型，从而获得 其中，B为权值，b为偏置 预测该实例非线性约束单目标系统的SVM模型. 2.3精度评价指标 运用8组测试样本检测预测效果，测试结果如表1 SVM对系统整体预测效果的系统总误差选取 所示，此时对应的SVM预测系统总误差为：0.0024. 的指标为均方根误差(RMSE),检测样本的测试效 表1实例一中SVM测试结果 果和最终寻优目标函数值的评价指标均采用相对误 Table 1 Test results of SVM for the first example 差(Er).具体计算公式如下： 样本编号 期望值 预测值 相对误差 Err=Is(n)-5(n)1/Is(n)I (30) 样本1 -26350.30 -26347.42 0.0001 样本2 -28554.25 -28572.50 0.0006 RMSE (s(n)-s(n))2 (31) 样本3 -25935.34 -25918.58 0.0006 其中，s(n)和s(n)分别是期望值和测试值，N为系 样本4 -24810.69 -24839.48 0.0012 统训练样本总数 样本5 -27995.19 -28015.22 0.0007 样本6 -29642.06 -29621.63 0.0007 3算例与结果分析 样本7 -30181.13 -30173.60 0.0002 3.1实例一 样本8 -28670.38 -28668.03 0.0001 该实例的非线性约束单目标系统选取于文献 [20],预测的该系统数学模型如下： PS0参数设置：粒子种群规模为50，迭代次数 mimf(X)=5.3578547x号+0.8356891x1x5+ 为100，学习因子c1、c2取值均为2，惯性权重为1，粒 37.293239x,-40792.141 子的各方向速度控制在[-11].最终的寻优迭代 约束条件： 过程如图1所示. 0≤c1(X)≤92 -3.050 90≤c2(X)≤110 3.055 20≤c3(X)≤25 -3.060 c1(X)=85.334407+0.005686x2x5+ 0.00026x1x4-0.002205x3x5 点-3.065 c2(X)=80.51249+0.007132x2x5+ -3.070 0.002996x1x2+0.002181x -3.075 c3(X)=9.300961+0.004703x3x5+ -3.080 0.001255x1x3+0.001909x3x4 -3.085 x1∈[78,102]，x2∈[33,45]，x3∈[27,45] x4∈[27,45]，x5∈[27,45] 3.0906102030405060708090100 进化次数 3.1.1基于SVM-IPS0的寻优过程 图1实例一中PS0寻优过程 实际应用时，样本点一般是通过实验获取.本 Fig.1 Optimization process of IPSO for the first example 文是预测有准确数学模型的系统，利用基于数学模 型的方法得出的结果来验证此类基于系统样本点的 经过迭代，获取的最优粒子的适应度值的倒数 方法所求结果.所以实例中的样本点通过已有的数 为-30883.09，对应的最优变量因素值为(x1,x2, 学模型来获取.该实例获取非线性约束单目标系统 x3,x4,x5)=（78,33,27.17,45,44.63).因此，运 200组训练样本和8组测试样本 用SVM-PSO方法求解该实例中的非线性约束单目 采用不敏感参数支持向量机ε-SVM,核函数选 标系统的最优目标函数f(X)的值为-30883.09.工程科学学报,第 40 卷,第 11 期 空间的向量. (2)径向基函数. K(z,h) = exp( - 椰h - z椰2 / 2滓 2 ) (28) 其中,滓 为核函数的宽度. (3)感知器. K(z,h) = tanh(茁z·h + b) (29) 其中,茁 为权值,b 为偏置. 2郾 3 精度评价指标 SVM 对系统整体预测效果的系统总误差选取 的指标为均方根误差(RMSE),检测样本的测试效 果和最终寻优目标函数值的评价指标均采用相对误 差(Err). 具体计算公式如下: Err = |s(n) - s(n) | / |s(n) | (30) RMSE = 1 N1 移 N1 n = 1 (s(n) - s(n)) 2 (31) 其中,s(n)和 s(n)分别是期望值和测试值,N1为系 统训练样本总数. 3 算例与结果分析 3郾 1 实例一 该实例的非线性约束单目标系统选取于文献 [20],预测的该系统数学模型如下: minf(X) = 5郾 3578547x 2 3 + 0郾 8356891x1 x5 + 37郾 293239x1 - 40792郾 141 约束条件: 0臆c1 (X)臆92 90臆c2 (X)臆110 20臆c3 (X)臆25 c1 (X) = 85郾 334407 + 0郾 005686x2 x5 + 0郾 00026x1 x4 - 0郾 002205x3 x5 c2 (X) = 80郾 51249 + 0郾 007132x2 x5 + 0郾 002996x1 x2 + 0郾 002181x 2 3 c3 (X) = 9郾 300961 + 0郾 004703x3 x5 + 0郾 001255x1 x3 + 0郾 001909x3 x4 x1沂[78,102],x2沂[33,45],x3沂[27,45] x4沂[27,45],x5沂[27,45] 3郾 1郾 1 基于 SVM鄄鄄IPSO 的寻优过程 实际应用时,样本点一般是通过实验获取. 本 文是预测有准确数学模型的系统,利用基于数学模 型的方法得出的结果来验证此类基于系统样本点的 方法所求结果. 所以实例中的样本点通过已有的数 学模型来获取. 该实例获取非线性约束单目标系统 200 组训练样本和 8 组测试样本. 采用不敏感参数支持向量机 着鄄鄄 SVM,核函数选 用径向基函数,参数 着、C 以及径向基函数中的参数 滓 运用遗传算法进行优化选取,遗传算法中群体规 模 50,迭代次数 100,采用实数编码,交叉概率为 0郾 4,变异概率为 0郾 2 [21] ,通过多次实验确定三个优 化参数为:C 取 9郾 94,滓 取 0郾 1,着 取 0郾 0001. 运用 200 组样本训练 SVM 预测模型,从而获得 预测该实例非线性约束单目标系统的 SVM 模型. 运用 8 组测试样本检测预测效果,测试结果如表 1 所示,此时对应的 SVM 预测系统总误差为:0郾 0024. 表 1 实例一中 SVM 测试结果 Table 1 Test results of SVM for the first example 样本编号 期望值 预测值 相对误差 样本 1 - 26350郾 30 - 26347郾 42 0郾 0001 样本 2 - 28554郾 25 - 28572郾 50 0郾 0006 样本 3 - 25935郾 34 - 25918郾 58 0郾 0006 样本 4 - 24810郾 69 - 24839郾 48 0郾 0012 样本 5 - 27995郾 19 - 28015郾 22 0郾 0007 样本 6 - 29642郾 06 - 29621郾 63 0郾 0007 样本 7 - 30181郾 13 - 30173郾 60 0郾 0002 样本 8 - 28670郾 38 - 28668郾 03 0郾 0001 IPSO 参数设置:粒子种群规模为 50,迭代次数 为 100,学习因子 c1 、c2取值均为 2,惯性权重为 1,粒 子的各方向速度控制在[ - 1 1]. 最终的寻优迭代 过程如图 1 所示. 图 1 实例一中 IPSO 寻优过程 Fig. 1 Optimization process of IPSO for the first example 经过迭代,获取的最优粒子的适应度值的倒数 为 - 30883郾 09,对应的最优变量因素值为( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (78, 33, 27郾 17, 45,44郾 63). 因此,运 用 SVM鄄鄄IPSO 方法求解该实例中的非线性约束单目 标系统的最优目标函数 f(X)的值为 - 30883郾 09. ·1406·