第13讲Hahn- Banach定理的应用 教学目的 理解延拓定理的应用。 授课要点 通过介绍Bahn- Banach定理在最佳逼近方面的应用帮助 学生认识这一定理应用的途径和方式 lahn- Banach定理在理论上和应用上都是十分重要的,它往往提 供了某些学科或学科分支的理论基础.这里介绍一些它们在逼近论方 面的应用 定义3设X是线性赋范空间,E是X的子集合,x∈X,称 y∈E是x关于E的最佳逼近元,若 y=inf x-= ∈E 首先应该知道一般说来,最佳逼近元并不总是存在的 例1设E∈C,E是[0上定义的任意阶多项式全体构成 的线性子空间,取x()=e∈C[.],尽管 d(r, E)=inf x-==0 但不存在y∈E使得|x-y=0,因为c不是多项式.这说明不存在e 关于E的最佳逼近元 定理1设X是线性赋范空间,E是X的闭线性子空间,x∈X, 则y∈E是x关于E的最佳逼近元当且仅当存在∫∈X使得|f=1,1 第 13 讲 Hahn-Banach 定理的应用 教学目的 理解延拓定理的应用。 授课要点 通过介绍 Hahn-Banach 定理在最佳逼近方面的应用帮助 学生认识这一定理应用的途径和方式。 Hahn-Banach 定理在理论上和应用上都是十分重要的，它往往提 供了某些学科或学科分支的理论基础. 这里介绍一些它们在逼近论方 面的应用. 定义 3 设 X 是线性赋范空间， E 是 X 的子集合， x∈ X ，称 y E ∈ 是 x 关于 E 的最佳逼近元，若 inf z E x y xz ∈ − = − . (1) 首先应该知道一般说来，最佳逼近元并不总是存在的. 例 1 设 E C ⊂ [0,1] ，E 是 [0,1]上定义的任意阶多项式全体构成 的线性子空间，取 ( ) [0,1] t xt e C = ∈ ，尽管 ( , inf 0 ) z E d xE x z ∈ = −= ， 但不存在 y E ∈ 使得 x y − = 0，因为 t e 不是多项式. 这说明不存在 t e 关于 E 的最佳逼近元. 定理 1 设 X 是线性赋范空间，E 是 X 的闭线性子空间， 0 x ∈ X ， 则 y E ∈ 是 0 x 关于 E 的最佳逼近元当且仅当存在 f X ∗ ∈ 使得 f =1