1+ <1+E 这样便证得infS=1. 例2设数集S-{1+nsm"∈N},求spsS,imfs 解不妨取n=6k+1,6k+2,…6k+5(k=12…)验证相应数值,可以发现一些规律.取 n=6k+l(k=12,3…)得到数集S的子集 S={1+(6k+1)k∈N 取n=6k+5(k=12.3,…)又得到子集 因为S1是无上界数集,S2是无下界数集,所以 infS 例3设数集5={y=1+x2,x为有理数},试求infs,smps 分析因为数集S无上界,所以supS=+∞,又因数1是S的下界,当有理数x充分小 时,y=1+x2与1很靠近,于是可以推测1是S的下确界 解先验证supS=+∞, M>0,3有理数x。(设M1,只要x>√M-1),使得1+x2>M,于是S是无上 界数集按定义,supS=+∞ 再验证infS=1 (i)vy∈S,y=1+x2≥1(x为有理数); (ⅱi)v>0,由有理数的稠密性,彐有理数x,使得-√E<x<√E,于是 l+x0<1+E 由此可见infS=1 例4设a为任意实数,A为R中非空有界数集,证明: sup(at A)=a+sup A, inf(a+A)=a+inf A 其中a+A={a+x|x∈A 证先证sup(a+A)=a+supA 由supA的定义,满足 (i)Vx∈A, (i)VE>0,3x。∈A,x0>supA-E即 +  +  + + 1 2 1 1 2 1 2 1 0 0 k k ， 这样便证得 inf S=1. 例 2 设数集 S=       + nN+ n n 3 1 sin  ，求 sup S，inf S. 解 不妨取 n = 6k +1,6k + 2,  ,6k + 5(k =1,2, ) 验证相应数值，可以发现一些规律. 取 n = 6k +1(k =1,2,3, ) 得到数集 S 的子集 S=         + +  N+ k k 2 3 1 (6 1) ； 取 n = 6k + 5(k =1,2,3, ) 又得到子集 S=         − +  N+ k k 2 3 1 (6 5) ； 因为 1 S 是无上界数集， 2 S 是无下界数集，所以 sup S=+∞，inf S=-∞. 例 3 设数集 S= y y 1 x , x为有理数 2 = + ，试求 inf S,sup S. 分析 因为数集 S 无上界，所以 sup S=+∞.又因数 1 是 S 的下界，当有理数 x 充分小 时， 2 y =1+ x 与 1 很靠近，于是可以推测 1 是 S 的下确界. 解 先验证 sup S=+∞. M  0， 有理数 0 x （设 M>1，只要 x0  M −1 ），使得 + x  M 2 1 0 ，于是 S 是无上 界数集.按定义，sup S=+∞. 再验证 inf S=1： （i） 2 yS, y =1+ x ≥1（x 为有理数）； （ii）   0 ，由有理数的稠密性，  有理数 0 x ，使得 −     0 x ，于是 1+ 1+  2 0 x . 由此可见 infS=1. 例 4 设 a 为任意实数，A 为 R 中非空有界数集，证明： sup(a+A) = a+sup A，inf(a+A) = a+inf A， 其中 a + A ={a + x | x A}. 证 先证 sup(a+A) = a+supA. 由 supA 的定义，满足： （i） x A，x≤sup A； （ii）   0,x  A, x  sup A −  0 0