<(m+ 同样可证 (m+1)(m+1)P1 p+1 于是不等式(1.9)当n=m+1时也成立 §2数集·确界原理 例1求数集S=内1+2“n∈N,)的上、下确界 分析当m2时,如+2=21+2x,容易看出=时2+2是偶数项中的最 大数当n=2k+1时,21+2 +2>1,当k充分大时,奇数项与数1充分靠 近因为21+=√是S中最大数,于是spS=√5,由上面分析可以看出infs=1 解因为√5是S中最大数,于是supS=√5再证infs=1,这是因为 (i)设a=2k+1+ 由等式a”-1=(a-1 +…+1)可知 于是v6>030∈N,(只要>2(如3-),使得 <a=  + + m k p p m k 1 ( 1) = + = 1 1 m k p k . 同样可证 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 1 + + + + − = + + + + + + p m p m m p m p p p p ≥  − = + 1 1 m k p p m k == m k p k 1 . 于是不等式（1.9）当 n=m+1 时也成立. §2 数集·确界原理 例 1 求数集 S=  +  − + n N n n n ( 1) 1 2 的上、下确界. 分析 当 n=2k 时， k k k k 2 2 2 2 2 1 1+ 2 = 2 1+ ，容易看出k =1时 2 2 1 2 1+ 是偶数项中的最 大数.当 n=2k+1 时， 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 (2 1) + = + +  + + − + k k k k ，当 k 充分大时，奇数项与数 1 充分靠 近.因为 2 2 1 2 1+ = 5 是 S 中最大数，于是 sup S= 5 ，由上面分析可以看出 inf S=1. 解 因为 5 是 S 中最大数，于是 sup S= 5 .再证 inf S=1，这是因为 （i） n n n n ( 1) , 1 2 −  + ≥1； （ii）设 a= 2 1 2 1 2 1 + 1 + k + k ，由等式 1 ( 1)( 1) 1 2 − = − + + + a n a a n− a n−  可知， 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 + + + + − = − + + + k k  k k k a a ≤ 2 1 2 1 k + ， 于是     N+ k0  0, （只要        −1 1 log 2 1 0 2  k ），使得 1 2 1 1 2 1 2 1 0 0 + − + + k k ≤   2 0 +1 2 1 k