∑ab 例5设p,n,m∈N,证明: (b-a(b"+b-a (1.7 P (3)试用归纳法证明 (19) 证(1)(b-a)(bm+b"2a+bma2+…+am) =bm+bma+ba+.+ba - m2a2 (2)在(1.7)中设b=n+1,a=n,m=p+1,有 (n+1)P-nP=(n+1)+(n+1)n+…+n, 于是 (P+1)n°<(n+1 这样就证得 (n+1)-n <(n+1) p+ (3)易证n=2时,当p为正整数时, P 现设不等式(19)不n=m时成立,有 P 当n=m+1时,由(1.8),(1.10)可得即 2 1       = n i aibi ≤               = = n i i n i ai b 1 2 1 2 例 5 设 p，n，m  N+ . 证明： （ 1 ） ( )( ) −1 −2 −3 2 −1 − = − + + + + m m m m m m b a b a b b a b a  a . (1.7) （ 2 ） p p p p n p n n n ( 1) 1 ( 1) 1 1  + + + −  + + . (1.8) （3）试用归纳法证明：  = − + =  +  n k p n p k p k p n k 1 1 1 1 1 （1.9） 证 （1） ( )( ) −1 −2 −3 2 −1 − + + + + m m m m b a b b a b a  a = m m m m m m m m b + b a + b a + + ba − b a − b a − − ba − a −1 −2 2  −1 −1 −2 2  −1 = m m b − a . （2）在（1.7）中设 b=n+1，a=n，m=p+1，有 p p n p p n + − n = n + + n + n + + n ( 1) +1 +1 ( 1) ( 1) −1  ， 于是 p p p p (p 1)n (n 1) n (p 1)(n 1) 1 1 +  + −  + + + + ， 这样就证得 p p p p n p n n n ( 1) 1 ( 1) 1 1  + + + −  + + . （3）易证 n=2 时，当 p 为正整数时， p p p p p 1 2 1 2 1 1  + +  + . 现设不等式（1.9）不 n=m 时成立，有  = − + =  +  m k p m p k p k p m k 1 1 1 1 1 ， （1.10） 当 n=m+1 时，由（1.8），（1.10）可得 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 1 + + + + − = + + + + + + p m p m m p m p p p p