数n成立 注证明中应用了数学归纳法本节在后面的例3、例5中将应用它证明其他一些不等 式,这是分析证明中常用的方法之 例3设a 为n个实数,a,(=1,2…,n)符号相同,且a,>-1,证明不等式 (1+a1)(+a2)…(1+an)≥1+ (14) 当a1=a2=…=an=x,x>-1时,成立伯努利( Bernoulli)不等式 (1+x)"≥1+nx (x>-1)n∈N, (1.5) 证n=1时不等式(1.5)显然成立.现设n=m时不等式成立,即 (1+a1)1+a2)…(1+an)≥1 其中a1符号相同且a1>-l(=1,2,…,m) 当n=m+1时,因为1+an>0,利用n=m时的不等式,有 ≥(1+a1+a2+…+an)(1+am) ≥1 其中最后不等式成立是由于an1与a(=1,2,…,m)同号.再在不等式(1.5)中令 a1=a2=…=an=x,x)-1,则有伯努利不等式 (x>-1) 例4证明柯西( Cauchy)不等式:设a1,a2,…,an,b1,b2…,bn为两组实数,则有 b2 证本例中将应用中学数学中二次三项式恒正的判别式来完成证明 设t为任何实数,t的二次三项式 (a1+tb,)2=∑a2+2∑ab b2≥0, 于是有 b-4数 n 成立. 注 证明中应用了数学归纳法. 本节在后面的例 3、例 5 中将应用它证明其他一些不等 式，这是分析证明中常用的方法之一. 例 3 设 a a an , , , 1 2  为 n 个实数， a (i 1,2, , n) i =  符号相同，且 ai  −1 ，证明不等式 (1 )(1 ) (1 ) + a1 + a2  + an ≥1+ a1 + a2 ++ an （1.4） 当 a a a x 1 = 2 == n = ， x  −1 时，成立伯努利（Bernoulli）不等式 n (1+ x) ≥1+nx （x>-1） n N+ （1.5） 证 n=1 时不等式（1.5）显然成立.现设 n=m 时不等式成立，即 (1 )(1 ) (1 ) + a1 + a2  + am ≥1+ a1 + a2 ++ am ， 其中 i a 符号相同且 a 1(i 1,2, ,m) i  − =  . 当 n=m+1 时，因为 1+ am+1 >0，利用 n=m 时的不等式，有 (1 )(1 ) (1 )(1 ) + a1 + a2  + am + am+1 ≥ (1 )(1 ) + a1 + a2 ++ am + am+1 = 1 2 1 1 2 1 1 ( ) + a + a ++ am + am+ + a + a ++ am am+ ≥ 1+ a1 + a2 ++ am+1 , 其中最后不等式成立是由于 am+1 与 a (i 1,2, ,m) i =  同号.再在不等式（1.5）中令 a a a x 1 = 2 == n = ，x>-1，则有伯努利不等式 n (1+ x) ≥1+nx （x>-1）. 例 4 证明柯西（Cauchy）不等式：设 a a an b b bn , , , , , , , 1 2  1 2  为两组实数，则有 2 1       = n i aibi ≤       = n i ai 1 2       = n i bi 1 2 （1.6） 证 本例中将应用中学数学中二次三项式恒正的判别式来完成证明. 设 t 为任何实数，t 的二次三项式     = = = = + = + + n i n i n i n i i i i i i bi a tb a t a b t 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) 2 ≥0， 于是有    = = =  −       n i n i i i n i aibi a b 1 1 2 2 2 1 2 4 ≤0