第一章实数集与函数 §1实数 例1设a,b为任意实数,证明 I+|a+bl 1+lal 1+b 证我们将从函数f(x)=x的性质着手证明不等式 设f(x) x>0,若0≤x1<x2,则f(x1)<f(x2) 因为a+b≤a+b,于是有 ≤ 1+|a+b|1+|a|+|b 1+|a|+|b|1+|a|+|b lal 1bl 例2利用数学归纳法证明二项式展开定理 其中a,b为任意实数,n为正整数 证n=1时,等式(1.3)显然是成立的设等式当n=m时成立,即 (a+b)=∑Cab 当n=m+1时 (a+b)∑Cmab) ∑ Cab+∑CAa4"b crabbe CAtb cab Ca‘b =b+∑(Ck+C如)ab++a a 其中应用了组合公式C+C=C1于是由数学归纳法,二项式展开定理对任意正整第一章 实数集与函数 §1 实数 例 1 设 a，b 为任意实数，证明： 1 | | | | a b a b + + + ≤ 1 | | | | 1 | | | | b b a a + + + （1.2） 证 我们将从函数 x x f x + = 1 ( ) 的性质着手证明不等式. 设 x x f x + = 1 ( ) = + x − 1 1 1 ，x>0，若 0< 1 2 x  x ，则 ( ) ( ) 1 2 f x  f x . 因为|a+b|≤|a|+|b|，于是有 1 | | | | a b a b + + + ≤ 1 | | | | | | | | a b a b + + + 1 | | | | | | 1 | | | | | | a b b a b a + + + + + = ≤ 1 | | | | 1 | | | | b b a a + + + . 例 2 利用数学归纳法证明二项式展开定理 = − + = n k k i n k n n a b C a b 0 ( ) ， （1.3） 其中 a,b 为任意实数，n 为正整数. 证 n=1 时，等式（1.3）显然是成立的.设等式当 n=m 时成立，即 = − + = m k k i m k m m a b C a b 0 ( ) ， 当 n=m+1 时， m m (a b) (a b)(a b) 1 + = + + + ( )( ) 0 = − = + m k k k m k a b Cm a b   = = − + + − = + m k m k K k m k M k k m k Cm a b C a b 0 0 1 1   = − = + − + + − + = + + + m k m k K k m k m M k k m k m m b C a b C a b a 1 1 0 1 1 1 1   = = + − + − − + + = + + + m k m k K k m k m M k k m k m m b C a b C a b a 1 1 1 1 1 1 1 = + − + − + = + + + m k k k m k m m k m m b C C a b a 1 1 1 1 1 ( )  + = + − = + 1 0 1 1 m k k k m k Cm a b ， 其中应用了组合公式 k m k m k Cm C C 1 1 + − + = .于是由数学归纳法，二项式展开定理对任意正整