解:∵D:(-∞,+∞).f (x)= (x≠0) 当x=O时,导数不存在 当-∞<x<0O时,f(x)<0,∴在(-∞,0上单调减少; 当<x<+∞时,f(x)>0,∴在0,+∞)上单调增加; 单调区间为(-∞,0y[0,+∞) 注意区间内个别点导数为零不影响区间的单调性 例如,y=x2,yx=0,但在(-∞+∞)上单调增加 例4当x>0时,试证x>h(1+x)成立 证:设f(x)=x-h(1+x),则f(x) 1+x f(x)在0,+∞)上连续,且(O,+∞)可导,f(x)>0, ∴在0,+∞)上单调增加; f(0)=0,∴当x>0时,x-h(1+x)>0,即x>h(1+x) 三、小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用 定理中的区间换成其它有限或无限区间,结论仍然成立 应用:利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式4 解：D :(−,+). , ( 0) 3 2 ( ) 3  = x  x f x 当x = 0时,导数不存在. 当−  x  0时，f (x)  0,在(−,0]上单调减少； 当0  x  +时，f (x)  0,在[0,+)上单调增加； 单调区间为 (−,0]，[0,+). 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, , 3 y = x 0, y  x=0 = 但在(−,+)上单调增加. 例 4 当x  0时,试证x  ln(1+ x)成立. 证： 设f (x) = x − ln(1+ x), . 1 ( ) x x f x + 则  =  f (x)在[0,+)上连续,且(0,+)可导，f (x)  0, 在[0,+)上单调增加；  f (0) = 0, 当x  0时，x − ln(1+ x)  0, 即x  ln(1+ x). 三、小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式