例6(P.57例6) 已知X的概率密度为 2x 0≤x≤π； fx(x)= 2, 求Y=sinX的概率密度. 0, 其他， 解，'函数y=gx)=sinx在[0，上为非单调函数，故不能用定理求. 利用分布函数求概率密度：x∈[0，时，y=sinx∈[0,1小. y≤0时，F(y)=P(Y≤y)=P(sinX≤y)=0; 01时，F(y)=P(Y≤y)=P(sinX≤y) 先转化为分布 =P((0<X<arcsiny)U (z-arcsiny<X<) 函数，再求导 =P(0<X<arcsiny)+P(π-arcsiny≤X≤π) 分布函数法 =imfx(x)&+ain,人() y≥1时，Fx(y)=P(Y≤y)=P(sinX≤y)=1. 不必计算积分 =5F0rc1: 2 其它.先转化为分布 函数, 再求导 已知X的概率密度为 求Y = sinX 的概率密度. 例6(P.57例6)        0 , 其他， , 0 ; 2 ( ) 2   x x f X x 利用分布函数求概率密度： 解 ∵函数 y= g(x)=sinx 在[0,]上为非单调函数，故不能用定理求. fY ( y)  FY ( y) f x dx f x dx y X y  X       arcsin arcsin 0 ( ) ( ) x[0,] 时, ysin x [0, 1]. y0 时,  0 ; 0<y<1时, F ( y) P(Y y) Y    P(sin X  y ) = P((0<X<arcsiny)∪(-arcsiny<X<)) y  1时, F ( y) P(Y y) Y    P(sin X  y) = P(0<X< arcsiny)+ P(-arcsinyX )              , 0 1; 1 1 ( arcsin ) 1 1 (arcsin ) 2 2 y y f y y f X y X  0 , 其它. 0 1; , 1 2 2    y  y FY ( y)  P(Y  y)  P(sin X  y) = 1. 分布函数法 不必计算积分