上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲稿）06、随机变量及其分布（一维随机变量及分布）§2.4 随机变量函数的分布

§2.4f 随机变量函数的分布 已知圆轴截面直径d的分布， 求截面面积A=π的分布. 4

已知圆轴截面直径 d 的分布， 4 2 求截面面积 d A= 的分布. §2.4 随机变量函数的分布

再如，己知t=t。时刻噪声电压V的分布， 求功率W=V2/R(R为电阻)的分布等 在实际中，人们常常对随机变量X的函数=g(X) 所表示的随机变量Y更感兴趣 设随机变量X的分布已知，又Y=g()(设g是连续函数) 如何由X的分布 无论在实践中还是 求出Y的分布？ 在理论上都是重要的 通过实例找方法

再如, 求功率 W=V 2 / R (R为电阻）的分布等. 已知t =t 0 时刻噪声电压V 的分布, t t0 0 V 在实际中，人们常常对随机变量X的函数Y= g (X) 所表示的随机变量Y更感兴趣 设随机变量X 的分布已知,又Y= g (X) (设g是连续函数) 无论在实践中还是 在理论上都是重要的 如何由 X 的分布 求出 Y 的分布？ 通过实例找方法

离散型随机变量函数的分布 X -2 -1 2 例1(P.55例1) 然Y=2X+1,Y=X2的分布列 Pk 1/101/5 2/51/5 1/10 解X取值分别为-2，-1,0,1,2时，Y=2X+1对应值为-3，-1,1,3,5. (X取某值与Y取其对应值是相同的事件，两者的概率应相同) P(Y=-3)=P(X=-2)=1/10; P(Y=)月P(X=1)=1/5; P(Y=-1)=P(X=-1)=1/5; P(Y=5≠P(X=2)=1/10; P(Y=0)=P(X=1)=2/5; Y=2X-1 -3 -1 1 3 5 Pk 1/10 1/5 2/51/51/10 -2,2 → 4 P(Y=0)=P(X=0)=2/5; Y=X2 -1,1 〉 1 P(Y=1)=P(X=-1)+P(X=1) 0 →0 =1/5+1/5=2/5; Pk 2/5 2/5 1/5 P(Y=4)=P(X=-2)+P(X=2)=1/10+1/10=1/5; 般地，离散型随机变量X的分布律为 X X1 X2 Xn P P2 Pn 则Y=g()的分布律为 Y=g(X) gx1） g(x2) g(xn) Pk Pi P2 Pn 若g(化)中有相等值，将它们对应的概率相加后和并成一项即可

例1(P.55 例1) ( X 取某值与 Y 取其对应值是相同的事件,两者的概率应相同 ) 一、离散型随机变量函数的分布 解 Y=2X-1 -3 -1 1 3 5 pk 1/10 1/5 2/5 1/5 1/10 则 Y=g(X)的分布律为 X 取值分别为 -2, -1, 0, 1, 2 时, Y=2X+1 对应值为-3, -1, 1, 3, 5.  1/10; 求Y=2X+1,Y=X2的分布列. X  Y=X2 -2  4 -1  1 0  0 1  1 2  4 P(Y  0)  P(X 1)  2/ 5; P(Y  1)  P(X  1) P(Y 3)  P(X 2) X -2 -1 0 1 2 pk 1/10 1/5 2/5 1/5 1/10  1/ 5; P(Y  3)  P(X  1)  1/ 5； P(Y  5)  P(X  2)  1/10; -2, 2  4 -1, 1  1 0  0 Y=X2 0 1 4 pk 2/5 2/5 1/5 一般地，离散型随机变量 X 的分布律为 X x1 x2 … xn … pk p1 p2 … pn … Y= g(X) g(x1) g(x2) … g(xn) … pk p1 p2 … pn … 将它们对应的概率相加后和并成一项即可 P(Y  0)  P( X  0)  2 / 5; P(Y1)  P(X1) P(X1)  1/5  1/5  2/5; P(Y4)  P(X2) P(X2) 1/10  1/10  1/5; 若g(xk)中有相等值

二、连续型随机变量函数的分布 例25例2)设X具有概率密度fx()={0, x/8,0<x<4 其它 求Y=-2X+8的概率密度 解设Y的分布函数为Fy(y), 则Fy)CX裂P-2X8≤以， 9p(x芝8)=fx0d, 于是Y的概率密度为 0-品学f.@=-8y=人 d 注意到0<x<4时，fx(x)≠0， 即0<y<8时，(80， 8，0 此时-.{ <y<8; 其它

则 FY ( y ) = P(Y y)= P(-2X+8  y), 解 设Y 的分布函数为 FY ( y )， 例2(P.55 例2) 设 X 具有概率密度       0, 其 它 / 8, 0 4 ( ) x x f X x 求 Y =-2X+8 的概率密度. ) 2 8 ( y P X    于是Y 的概率密度为 dy dF y f y Y Y ( ) ( )  二、连续型随机变量函数的分布 注意到 0 < x < 4 时， f (x)  0, X 即 0< y <8 时， ) 0, 2 8 (   y f X 此时 , 16 8 ) 2 8 ( y y f X             0, . , 0 8 ; 32 8 ( ) 其它 y y fY y ② ( ) , 2 8 f t dt  y X     ) 2 8 ) ( 2 8 (       y y f t dt f X dy d  y X    2 8 ( ) 2 1 ) 2 8 (    y f X ①

例3设X具有概率密度fx(x), 求Y=X2的概率密度. 解设Y和X的分布函数分别为Fy(y)和Fxc), 注意到Y=X2≥0，故当y≤0时Fr(y)=0; 当y>0时，F,U)=P(Y≤y)P(X2s) =P(-Vy≤X≤Vy)=Fx(Vy)-Fx(-Vy), o-.国+l0 求导可得 0, y≤0. 若fx()=e，-<r<o (P70例26) 则x的概率密度为0)=2可e，少0； Y服从自由度为1的x2分布 ≤0

设 X 具有概率密度 f X (x),  P( y  X  y ) 求导可得 dy dF y f y Y Y ( ) ( )  当 y>0 时, F ( y) P(Y y ) Y   ( ) 2  P X  y 注意到 Y=X20，故当 y  0时，FY ( y) = 0; 解 设Y 和X 的分布函数分别为FY ( y) 和 FX (x)，  FX ( y )  FX ( y ), 例3 , 2 1 ( ) 2 2 e x f X x    若    x   则 Y=X2 的概率密度为          0, 0. , 0; 2 1 ( ) 2 y y f y y e y Y  ② ① Y 服从自由度为1 的 2 分布 求Y=X2 的概率密度.      0 , y 0 .  , 0; ( ) ( ) 2 1 f y  f  y y  y X X (P70 例26)

从上述两例中可看到，在求PY≤y}的过程中， 关键是第一步中：设法从{g()≤y}中解出X,从而得 到与{g()≤y}等价的关于X的不等式. 如例2中，用{X≥8卫}代替{-2X+8≤y} 22 如例3中，用{√少≤X≤V少}代替{X2≤y} 即利用已知的X的分布，求出X的函数的分布 求连续型随机变量的函数的分布的常用方法 定理

从上述两例中可看到，在求P{ Y  y }的过程中, 关键是第一步中: 设法从{g(X) y}中解出X, 从而得 到与{g(X)  y}等价的关于X 的不等式 . 用 代替 { X2 {  y  X  y }  y } 即利用已知的X的分布,求出X的函数的分布 用 } 代替 { -2X+ 8  y } 2 8 { y X   求连续型随机变量的函数的分布的常用方法 如例2中, 如例3中, 定理

定理(P.57例4) 设连续型随机变量X具有概率密度fx(x),又 y=gx)处处可导，且有g'x)>0(或恒有g's0,→g(x)个(-∞，+∞)→(y)存在，(y)个(a,B)人可导. 下面求Y的分布函数F(y): 由于Y=g(X)∈(a,B), .y≤a时，F(y)=P(Y≤y)=0; y≥B时，F(y)=P(Y≤y)=1; a<y<B时，FOy)=P(g(X)sy)=P(X≤My)=fx(x)k, f()()yp 0 其它 类似可证g'(x)<0时， 综合以上即有结论成立 fr0)= fx[h(y)Ih'(y)],a<y<B 0, 其它

则 Y = g(X) 是一 个连续型随机变量,其概率密度为 又 y = g(x) 处处可导,且有g (x)>0 (或恒有g (x)<0),         0 , 其它 [ ( )] | ( )|, ( ) f h y h y  y  f y X Y         0, 其 它 [ ( )][ ( )], ( ) f h y h y  y  f y X Y 类似可证 g (x)<0 时, max{ ( ), ( )} min{ ( ), ( )}       g g g g   定理的证明与前面的解题思路完全类似. 设连续型随机变量 X 具有概率密度 f 定理(P.57 例4) X(x), 下面求Y 的分布函数FY(y): 证 设 g(x)  0,  g(x)  (, )  h( y)存在， h( y)(,  )、可导. 由于 Y  g(X)(,  ),  y 时, FY ( y) P (Y  y )0; y , F ( y) P(g(X) y )    时 Y           0, 其它 [ ( )] ( ), ( ) f h y h y  y  f y X Y g  保号 h( y)是g(x)的反函数 y  时, FY ( y) P(Y  y)1;  P (X  h( y))   ( ) ( ) , h y f X x dx 综合以上即有结论成立. a b a b

例4(P.55例5) 设随机变量X~(山o2),试证X的线性函数 Y=aX+b(a0)也服从正态分布. _（x-4)2 证X的概率密度为f(x)= e 202 一0≤X<0 ①验证函数可导且单调 0V2π ②求反函数及其导数 显然y=gx)=ar+b可导且g'=M保号→ x=)="=b,且)= .'g(-∞)=-∞，g什∞)=+0∴.y∈（o,十∞)，③确定y的取值范围 由定理知mX+h的概率密度为U)=司，一<J<+心 ④代入定理公式即得函数的密度 注意取绝对值 '- Iy-(b+au)p f(y)=alo2π 2o2 2(ao)2 ,-0<y<+0 |M|o√2π Y=X+b(a+b,(（4o)2) 注取a=。,=-若，有Y=X二L~N0,)

        e y a a y b a , | | 2 1 2 2 2( ) [ ( )]     试证 X 的线性函数 Y=aX+b (a ≠0) 也服从正态分布. 证 X 的概率密度为         f x e x x , 2 1 ( ) 2 2 2 ( )     . 1 ( ) , ( ) a h y a y b x h y       且 例4(P.55例5) 设随机变量 X～(,  2 ), 显然 y=g(x)=ax+b可导且g=a保号 Y=aX+b 的概率密度为       y a y b f a fY y X ( ) , | | 1 由定理知 ( ) ∴ Y = aX+b ～ (a +b, (|a| ) 2 ) 2 2 2 ( ) | | 2 1 ( )         a y b Y e a f y 即 注 取  , ，   a , b 1 ① 验证函数可导且单调 ② 求反函数及其导数 ④ 代入定理公式即得函数的密度 注意取绝对值 N(0, 1). X Y   有  ～ g( ) , g( ) ,  y( , ), ③ 确定y的取值范围

例5 设X的概率密度为 f()=x0+x2)’ -0<X<00, 求Y=1-eX的概率密度. 解显然y=gx)=1-ex可导，且g'=-ex保号， ① 三x=)=In1-吵，且W=· ② .'g(-0∞)=1，g+∞=-∞，∴.y∈(-∞，1)， ③ 由定理知Y=1-ex的概率密度为 注意取绝对值 =a1-: ④ 0, 其他， 0, 其他

           [ln(1 )], 1; |1 | 1 ( ) f y y y f y X Y 0， 其他， 求 Y = 1-eX 的概率密度. 解 , , (1 ) 1 ( ) 2        x x f x  . 1 1 ( ) ln(1 ), ( ) y x h y y h y       且   例5 设X的概率密度为 显然 y=g(x)=1-e x 可导, 且g= -e x 保号, 由定理知 Y=1-eX 的概率密度为 即 ① ② ④ 注意取绝对值 g( )1, g( ),  y( ,1),             0, . , 1; [1 ln (1 )](1 ) 1 ( ) 2 其 他 y y y fY y  ③

例6(P.57例6) 已知X的概率密度为 2x 0≤x≤π； fx(x)= 2, 求Y=sinX的概率密度. 0, 其他， 解，'函数y=gx)=sinx在[0，上为非单调函数，故不能用定理求. 利用分布函数求概率密度：x∈[0，时，y=sinx∈[0,1小. y≤0时，F(y)=P(Y≤y)=P(sinX≤y)=0; 01时，F(y)=P(Y≤y)=P(sinX≤y) 先转化为分布 =P((0<X<arcsiny)U (z-arcsiny<X<) 函数，再求导 =P(0<X<arcsiny)+P(π-arcsiny≤X≤π) 分布函数法 =imfx(x)&+ain,人() y≥1时，Fx(y)=P(Y≤y)=P(sinX≤y)=1. 不必计算积分 =5F0rc1: 2 其它

先转化为分布 函数, 再求导 已知X的概率密度为 求Y = sinX 的概率密度. 例6(P.57例6)        0 , 其他， , 0 ; 2 ( ) 2   x x f X x 利用分布函数求概率密度： 解 ∵函数 y= g(x)=sinx 在[0,]上为非单调函数，故不能用定理求. fY ( y)  FY ( y) f x dx f x dx y X y  X       arcsin arcsin 0 ( ) ( ) x[0,] 时, ysin x [0, 1]. y0 时,  0 ; 0<y<1时, F ( y) P(Y y) Y    P(sin X  y ) = P((0<X<arcsiny)∪(-arcsiny<X<)) y  1时, F ( y) P(Y y) Y    P(sin X  y) = P(0<X< arcsiny)+ P(-arcsinyX )              , 0 1; 1 1 ( arcsin ) 1 1 (arcsin ) 2 2 y y f y y f X y X  0 , 其它. 0 1; , 1 2 2    y  y FY ( y)  P(Y  y)  P(sin X  y) = 1. 分布函数法 不必计算积分