2007年概率统计试题答案 -、1.C2.D3.A4.A5.B6.D7.C8.B9.A10.B11.C※11.C12.D ※12.D13.A※13.A14.D※14.D15.C※15.C 二、解： (1)设A,A2,A表示产品分别由甲、乙、丙车间生产的，B=“次品”。则A,A2,A构 成完备组，且有 P(A)=0.25,P(A2)=0.35,P(A)=0.4 P(B1A)=0.05,P(B|A2)=0.04,P(B|A)=0.02 所以 P(B)=∑P(4)P(B1A)=0.0345 = (2)由贝叶斯公式 P41B)=P4)PB1A-025x0.05=0.362 P(B) 0.0345 三、解： (1)F(-)=lim(4+Barctan x)=4-ZB=0 F(+o)=lim (A+Barctanx)=4+B=0 2 1,1 得A=),B=故F(x)=+元aretan。 (2)PX∈(-1}=F0-F(-I=2 (3)X的密度函数fx)=F(x)=L πl+x巧（∞<x<+0) 四、解： (1)因(X,Y)在D上服从均匀分布，则 =0-rh=号 知(X,Y)的联合密度为 f(x,y)= 50≤y≤1-r_0sys1- 0,其它 0,其它
2007 年概率统计试题答案 一、1.C 2.D 3.A 4.A 5.B 6.D 7.C 8.B 9.A 10.B 11.C ※11.C 12.D ※12.D 13.A ※13.A 14.D ※14.D 15.C ※15.C 二、解： （1）设 1 2 3 A , A , A 表示产品分别由甲、乙、丙车间生产的，B =“次品”。则 1 2 3 A , A , A 构 成完备组，且有 ( ) 0.25 P A1 ， ( ) 0.35 P A2 ， ( ) 0.4 P A3 ( | ) 0.05 P B A1 ， ( | ) 0.04 P B A2 ， ( | ) 0.02 P B A3 所以 3 1 ( ) ( ) ( | ) 0.0345 i P B P Ai P B Ai （2）由贝叶斯公式 0.362 0.0345 0.25 0.05 ( ) ( ) ( | ) ( | ) 1 1 1 P B P A P B A P A B 三、解： （1）由 0 2 () lim ( arctan ) F A B x A B x 0 2 () lim ( arctan ) F A B x A B x 得 1 , 2 1 A B 。故 F x arctan x 1 2 1 ( ) 。 （2） 2 1 P{X (1,1)} F(1) F(1) （3） X 的密度函数 ( ) (1 ) 1 ( ) ( ) 2 x x f x F x 四、解： （1）因(X ,Y ) 在 D 上服从均匀分布，则 3 4 (1 ) 1 1 2 S x dx D 知(X ,Y ) 的联合密度为 ，其它 ， 其它 0 0 1 4 3 0, ,0 1 1 ( , ) 2 2 y x y x f x y SD
(2)当x∈(-1,1)时 -c=r-0- 3 X的边缘密度函数为 fx(x)= 21-x2-1<x<1 0,其它 当y∈(0,1)时 =达-后 Y的边缘密度函数为 fy(y)= 2i0<e1 0,其它 (3)设D'为D与D,的交集，因(X,Y)在D上服从均匀分布，故 0-x2-x2) P{(x,y)∈D}= Sp 4 2 3 五、解： P(X=B=-a.P(X=0)=-6 -EX2=-a a+b a+b EY=-a a+ a+b 而 PW==a6PW=-明=年 a+b 有 EY=_a-b=a-b ,EY2=1 a+b a+b a+b (X,Y)的分布律为 X 0 b 0 a+b 0 a a+b E(XY)=-a +b
（2）当 x (1,1) 时 (1 ) 4 3 4 3 ( ) ( , ) 2 1 0 2 f x f x y dy dy x x X X 的边缘密度函数为 0,其它 (1 ), 1 1 4 3 ( ) 2 x x f x X 当 y (0,1) 时 f y f x y dx dx y y y Y 1 2 3 4 3 ( ) ( , ) 1 1 Y 的边缘密度函数为 0,其它 1 ,0 1 2 3 ( ) y x f y Y （3）设 D 为 D 与 D1的交集，因(X ,Y ) 在 D 上服从均匀分布，故 2 2 3 4 (1 ) {( , ) } 2 2 2 2 2 2 1 x x dx S S P x y D D D 。 五、解： a b a P X { 1} ， a b b P X { 0} ， a b a EX ， a b a EX 2 而 a b a P Y { 1} ， a b b P Y { 1} 有 a b a b a b b a b a EY ， 1 2 EY (X ,Y ) 的分布律为 Y X -1 1 0 1 a b b 0 0 a b a a b a E XY ( )
DY=a a+b'Dy= 4ab (a+b)2 所以 cov(X,Y)=E(XY)-EXEY =_2ab (a+b)2 cov(X.Y)=1 Px=DX\DY 六、解：似然函数 L(0=0+1)x]=(0+1)(1x)P 取对数得 In 1(0)n+)+ 求导 din(o)=nnx de 0+1台 得 0=- n-1 由于 rho-正ns0有 F,(y)=PW≤y以=PX2≤y以=P{-√y≤X≤V} =F(x 于是Y的概率密度为 U)-f-D,y>0 f()=25 0, y≤0
a b ab DX ， 2 ( ) 4 a b ab DY 所以 2 ( ) 2 cov( , ) ( ) a b ab X Y E XY EXEY 1 cov( , ) DX DY X Y XY 六、解：似然函数 ( ) [( 1) ] ( 1) ( ) 1 1 n i i n n i i L x x 取对数得 n i i L n x 1 ln ( ) ln( 1) ln 求导 n i i x n d d 1 ln 1 ln( ) 得 1 ln ˆ 1 n i i x n 由于 ( ln ) 0 1 | ln( ) 2 1 2 ˆ 2 n i i x d n d 所以ln L( ) 在 ˆ 处取最大值，因而 ˆ 是 的极大似然估计。 ※六、解： 0 2 Y X ，故当 y 0, F ( y) 0 Y ；当 y 0有 ( ) { } { } { } 2 F y P Y y P X y P y X y Y = y y X f (x)dx 于是Y 的概率密度为 0, 0 [ ( ) ( )], 0 2 1 ( ) y f y f y y f y y X X Y
七、解： (1)U一一检验 (2)拒绝域：IU上U =U0.95=2.58 (3)统计量：U= X-Hon 00 4U=053-05V2=3 0.11 因|U上3>2.58，所以拒绝H接受H1。 ※七、解：设A=“构成三角形”，将线段AB的长设为1，又设M点的坐标为x,原点为AB 的中心，则 Q=x0≤x≤1，AM、MB和A0的长度为x1-x,2 1 x+0-x0>2 1 1 1 x4 3 x+ 4 1 1-)+2>x 于是A=日x<孕得0=分
七、解： （1）U ——检验 （2）拒绝域：| | 2.58 0.995 2 1 U U U （3）统计量： n X U 0 0 （4） 121 3 0.11 0.53 0.5 U 因|U | 3 2.58 ，所以拒绝 H0 接受 H1 。 ※七、解：设 A =“构成三角形”，将线段 AB 的长设为 1，又设 M 点的坐标为 x ，原点为 AB 的中心，则 {x | 0 x 1}， AM 、 MB 和 AO 的长度为 2 1 x,1 x, 4 3 4 1 2 1 (1 ) 1 2 1 2 1 (1 ) x x x x x x x 于是 }4 3 4 1 A {x | x 得 2 1 P(A)