答案：本科概率论与数理统计测试题（二） 一、填空题 1.解因为P{X=x}=P{X≤x}-P{X<x}=F(x)-F(x-O) 所以，只有在F(x)的不连续点(x=-1,13)上P{X=x}不为零，且 P{X=-1}=F(-1)-F(-1-0)=0.4 P{X=1}=F(1)-F(1-0)=0.8-0.4=0.4 P{X=3}=F(3)-F(3-0)=1-0.8=0.2 故应填 -1 3 P(X=x 0.4 0.4 0.2 2.解：X的边缘概率分布 1 2 6 3+a+B Y的边缘概率分布 Y 1 2 3 P 3-6 1 +a 9 要使X和Y相互独立，以下等式都应该成立 a-G+a+g叫B-6*a+Ps+ 因而求出使以上等式成立的a=。B=。 2 0 3.解：设p=P(A),由X、Y同分布，知P(B)=PY≤a=P(A)=p 所以P(B)=1一p 由条件知P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=p+(1-p)-p(I-p) -p-ptl-g 由此得p=3P,=3 又X的分布函数为(y)=二≤x≤3，因此 2 p=PA）=9即=1+2p 5 7 于是问题有两个解，即a,=1+2p=3a,=1+2p,=3
答案:本科概率论与数理统计测试题(二) 一、填空题 故应填 所以，只有在 的不连续点 上 不为零，且 解 因为 { 3} (3) (3 0) 1 0.8 0.2 { 1} (1) (1 0) 0.8 0.4 0.4 { 1} ( 1) ( 1 0) 0.4 ( ) ( 1,1,3) { } 1. { } { } { } ( ) ( 0) = = − − = − = = = − − = − = = − = − − − − = = − = = = ≤ − < = − − P X F F P X F F P X F F F x x P X x P X x P X x P X x F x F x x -1 1 3 P{X = x} 0.4 0.4 0.2 2.解： X的边缘概率分布 X 1 2 Y 18 6 +α + β 3 1 Y的边缘概率分布 Y 1 2 3 P 6 3 +α 9 1 + β 18 1 9 1 9 2 18 1 3 1 , 9 1 3 1 6 3 3 1 3 1 , 18 1 18 6 18 1 , 9 1 18 6 9 1 6 3 18 6 6 1 = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⋅ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + ⎟⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ = + α β α α β β β α β β α β α β 因而求出使以上等式成立的 ， 要使X和Y相互独立，以下等式都应该成立 { } 3 7 , 1 2 3 5 1 2 , 1 2 2 1 P A ,1 3, 2 1 X F( ) 3 2 , 3 1 9 7 1 P A B P A P B P A P B (1 ) (1 ) P B 1 3. p P A X Y P B P Y a P A p 1 1 2 2 1 2 2 = + = = + = = + − = ≤ ≤ − = = = = − + = ∪ + − − − ≤ a p a p a p a p x x p p x p p p p p p p 于是问题有两个解，即 （ ）＝ 即 由此得 又 的分布函数为 因此 由条件知 （ ）＝ （ ）＋ （ ）－ （ ） （ ）＝ 所以 （ ）＝ － 解：设 ＝ （ ），由 、 同分布，知 （ ）＝ ＝ （ ）＝
4.解可以验证这是二维连续型随机变量的分布函数，由公式 o(x,y)= ℉，有 Oxoy =31n3-3y1n3 8x 故应填 3--y(ln3)2,x≥0，y≥0 0 其他 二、选择题 1解首先根据概率分布的性质求出常数a的值，其次确定概率分布的具体形式， 然后计算条件概率2P收=x}+3+5+了-3=1 解得a 37 三1 a 2a 4a 8a8a [-2 02√5 故X~ 8 12107 3737 3737 PNs2K≥吹PK≤2，X2叫 PX=0)+P(X=2) 22 PK≥0} PK=0+P收=2HP农=5 29 故应选(B) 2.解根据分布函数F(x)与密度函数o(x)之间的关系 F(x)=∫p()d F(-a)=∫-p(x)d=-∫o(-xd(-x)=∫p(x)dr 而l=∫±p(x)dr=F(-a)+∫°p(x)dr+∫6p(x)dr+∫p(x)dr =2F(-a)+28p(x)dr 故 FKo-=-j6t 3.设随机变量X在区间(2,5)上服从均匀分布现对X进行三次独立观测，则至少 有两次观测值大于3的概率为 (A) 20 (B) 37 30 (C) 2-5 2-3 (D) 分析由题意“对X进行三次独立观测”即是在相同条件下进行三次独立重复试验， 因此所求概率属于伯努利概型的概率计算问题 以A表示事件“对X的观测值大于3”，即A={X)3}由题设知X的概率密度为 23-号r 以表示三次独立观测中观测值大于3的次数，则的可能值为0，l,2,3,且据伯努利概型的计算公式
⎩ ⎨ ⎧ ≥ ≥ = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − − − − − 其他 故应填 （ 有 解 可以验证这是二维连续型随机变量的分布函数，由公式 0 3 (ln 3) , 0, 0 3 ln 3 3 ln 3 F , F , ) 4. 2 2 x y x y x x y x y x x y ϕ 二、选择题 { } { } { } { } { }{ } { }{ } { } 故应选（ ） ＝ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＋ ＝ ＝ ， ＝ － 故 ～ 然后计算条件概率 ＝ 解得 解 首先根据概率分布的性质求出常数 的值，其次确定概率分布的具体形式， ＝ B 29 22 P X 0 P X 2 P X 5 P X 0 P X 2 P X 0 P X 2 X 0 P X 2 X 0 37 7 37 10 37 12 37 8 2 0 2 5 X 8 37 1 8 37 8 7 4 5 2 1 3 P X 1. 4 i 1 ≥ ≤ ≥ ≤ ≥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∑ = + + + = = a = a a a a a x a i ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ − = − = − + = − + + + = − = = − − − = +∞ − ∞ ∞ − +∞ +∞ −∞ −∞ a x x a x x x x a x x x x x x x t t a x t x x x x x x a a a a a a a x a ( )d 2 1 F( ) 2F( ) 2 ( )d 1 ( )d F( ) ( )d ( )d ( )d F( ) ( )d F( ) ( )d ( )d( ) ( )d 2. F( ) ( ) 0 0 0 0 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 故 而 ＝ 解 根据分布函数 与密度函数 之间的关系 ＋ － { } { } 以 表示三次独立观测中观测值大于 的次数，则 的可能值为 ，，，，且据伯努利概型的计算公式 因此 （ ）＝ 其他 以 表示事件“对 的观测值大于 ”，即 ＝ ，由题设知 的概率密度为 因此所求概率属于伯努利概型的概率计算问题 分析 由题意“对 进行三次独立观测”即是在相同条件下进行三次独立重复试验， 有两次观测值大于 的概率为 设随机变量 在区间 上服从均匀分布 现对 进行三次独立观测，则至少 3 0 1 2 3 d 3 1 P A P X 3 0 2 5 3 1 ( ) A X 3 A X 3 X X 3 2 ( ) 5 2 ( ) 30 27 ( ) 27 20 ( ) 3 3. (2,5) . 5 3 μ μ ∫ > = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < < = 〉 x x f x A B C D X X
凤各可能值的微车为Pu==Cpg=C旧 k=0,12,3 即~B3,子从而，所求概率为 P{≥2}=C +c-9 故应选(A). 4.应选（C) 一、计算证明题 1.解(1)若有放回地抽取，则下一次抽取的情形与前一次完全相同，因此可套用 上面几何分布的结论，即X的分布律为PX=k=(己己k=12,… 1010 也就是说，X服从参数为乙的几何分布 10 (2)若不放回地抽取，由于共有3件次品，7件正品，因此，X的可能取值应为1,2,3,4， 令A=“第k次取到正品”，k=1,2,3,4,则利用乘法公式可得X的分布律为： P(X=B=P(A)=10 PX=2=Pa4)=P41A)=i0×g30 377 一X一 Px=明-a40-raa1国m4aa)-高*号品 P(X=4)=P(4444)=P()P()P()P(A1444) 32171 =10*9×8×7120 2.解(1)由F(+o)=1及F(-o)=0,可得 A+交B=1 1=0 即A= π a-1kKs=r-F-=r-兮-品083 11 (3)X的分布密度o(x)=F()=(+arctan=了 π(1+x2) （-0<x<+0)
. (A). 27 20 3 2 3 1 3 2 { 2} ). 3 2 ~ (3, , 0,1,2,3 3 1 3 2 { } 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 故应选 即 从而，所求概率为 取各可能值的概率为： ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≥ = ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = − − P C C B P k C p q C k k k k k k k μ μ μ μ 4.应选（C） 一、 计算证明题 . 10 7 , 1,2, 10 7 ) 10 3 { } ( 1. (1) 1 也就是说， 服从参数为 的几何分布 上面几何分布的结论，即 的分布律为 解 若有放回地抽取，则下一次抽取的情形与前一次完全相同，因此可套用 X X P X k k = = k − = … 120 1 7 7 8 1 9 2 10 3 ( 4) ( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | ) 120 7 8 7 9 2 10 3 { 3} ( ) ( ) ( | ) ( | ) 30 7 9 7 10 3 { 2} ( ) ( | ) 10 7 { 1} ( ) 1,2,3,4, (2) , 3 ,7 , , 1,2,3,4, 1 2 3 4 1 2 1 3 1 2 4 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 2 2 1 1 = × × × = = = = = = = = × × = = = = = × = = = = = = P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A P X P A A A P A P A A P A A A P X P A A P A A P X P A A k k X X 令 k “第 次取到正品”， 则利用乘法公式可得 的分布律为： 若不放回地抽取 由于共有 件次品 件正品 因此 的可能取值应为 0.583 12 7 ) 4 1 2 1 ) ( 2 3 1 (2) { 1 3} ( 3) ( 1) ( 1 2 1 , 0 2 1 2 2. (1) ( ) 1 ( ) 0, 1 − < < = − − = + − − = ≈ = = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = + = +∞ = −∞ = − π π π π π π π P X F F A B A B A B F F 即 解 由 及 可得 ( ) (1 ) 1 arctan )' 1 2 1 (3) ( ) '( ) ( 2 −∞ < < +∞ + = = + = x x X x F x x π π 的分布密度ϕ
3解0由于∫(x杰=kek==1 所以得k=3 3 (2)根据公式可知F(x)=P(X0时，Fx)=∫px)h=j03erk=1-ex 于是所求分布函数为 [1-e3r, F(x)= x>0 0, x≤0 (3)P1≤X≤2)=∫px)d-3ed=-e=e3-e6≈0.0473 PX≥)=1-PX<)=1-6px)k=1-j3e=e3≈0.0498 4解：X的边缘分布函数为 Fx(x)=F()=lim+arctan+arctan 2 2 3 X、 11 -+-arctan- π2 2 2π 同理，Y的边缘分布函数为 11 Fr()=F (+y)=+arctan 1-3e 5.解：(1)py)= ,y≥3 2 0 y<3 (2)p(m)=e"ee",(-o0<w<+o)
( 1) 1 ( 1) 1 ( ) 1 3 0.0498 (3) (1 2) ( ) 3 0.0473 0, 0 1 , 0 ( ) 0 , ( ) ( ) 3 1 0 , ( ) ( ) 0 (2) ( ) ( ) ( ) , 1 3 3 3. (1) ( ) 3 1 0 3 1 0 2 3 6 1 3 2 1 3 2 1 3 3 0 3 0 3 ≥ = − = > = = = − ≤ = = = < = = = = = − − − − − − − − − −∞ −∞ −∞ ∞ − ∞ −∞ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ P X P X p x dx e dx e P X p x dx e dx e e e x e x F x x F x p x dx e dx e x F x p x dx F x P X x p x dx x k k p x dx ke dx x x x x x x x x x x x 于是所求分布函数为 当 时 当 时 积分值是不同的，因而已知分布密度求分布函数必须实施分段积分 根据公式可知 显然上限 取不同数值时，其 解 由于 所以得 3 arctan 1 2 1 F ( ) F ) Y 2 arctan 1 2 1 ) 2 arctan 2 ( 1 ) 2 2 )( 2 arctan 2 ( 1 ) 3 arctan 2 )( 2 arctan 2 ( 1 F ( ) F( , ) lim 4. X Y 2 X 2 y y y x x x x y x x y π π π π π π π π π π π = ∞ = + = + + = + = + = +∞ = + + →+∞ （＋ ， 同理， 的边缘分布函数为 解： 的边缘分布函数为 (2) ( ) ,( ) 0 3 ) , 3 2 3 ( 2 1 5. 1 ( ) 2 2 4 ) 2 3 ( 3 = ⋅ −∞ < < +∞ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ − = − − − − w e e w y e y y y w w e y ϕ 解：（）ϕ