复习 总体 研究对象的全体，总体中的每个对象称为个体 总体和样本 总体可用随机变量X或其分布来描述，就是一个概率分布 样本一一 按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验 所抽取的部分个体称为样本， 独立性； 样本容量， 样本值， 简单随机样本 代表性. 统计量一一 不含任何未知参数、完全由样本决定的样本函数 样本矩 顺序统计量将样本值，，n按递增顺序排列x≤…≤x 令随机变量X=x(Xi,…,X)为样本X,…,Xn的顺序统计量 三个常见的统计分布
——按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验 所抽取的部分个体称为样本， 总体和样本 统计量 三个常见的统计分布 复习 总体 样本 —— 研究对象的全体, 总体中的每个对象称为个体 样本矩 总体可用随机变量 X 或其分布来描述, 就是一个概率分布 样本容量, 样本值, 简单随机样本 ——不含任何未知参数、完全由样本决定的样本函数 令随机变量 顺序统计量 将样本值 x1,„, xn 按递增顺序排列 ( 1 , , ) X Xn 为样本 X1, „, Xn 的顺序统计量. x1 xn Xk xk ， 独立性; 代表性.
一、自由度为n的x2分布 Y~x2(n) -— 随机变蛋Y-名X所服从的分布（储X益立且都服从N@D) 40设X1,,Xm相互独立，且都服从正态分布N(4,o2),则 Y=a含X-wX四； 10可加性一一设Y1X2(m,Y2X2(n),且Yi,Y2独立， 则Y+Y2~X(m+n); 2+30若Y~x2(n),则EY=n,DY=2n; 当n充分大时，2近似服从N(0,). x2分布的上侧a:分位数 n≤45时，P(X>X2(m）)=gafx)k=a, n>45时，x2≈2(ua+V2n-1)2
—— 随机变量 n i Y Xi 1 2 一、自由度为 n 的 2 分布 Y ~ 2 (n) 所服从的分布(诸 Xi 独立且都服从 N(0,1) ) 2 0+30 若 Y ~ 2 (n), 则 EY= n , DY= 2n ; 设 X1,„, Xn 相互独立, 且都服从正态分布 N(, 2), 则 当 n 充分大时, ( ) ~ ( ); 1 2 1 2 2 Y X n n i i 近似服从 N(0,1). n Y n 2 4 0 2 分布的上侧 分位数 ( ( ) ) ( ) , ( ) 2 2 P X n f x dx n n 45 时, n>45 时， . ( 2 1 ) 2 2 1 2 u n ~ ( ); 2 则Y1 Y2 m n 1 0 可加性——设 Y1~ 2 (m), Y2 ~ 2 (n), 且Y1, Y2独立
二、自由度为n的t分布T~t(n) X 一一 随机变量T=Yn 所服从的分布， (其中X~N(0,1),Y~x2(m,X与Y相互独立) 数学期望E(T)=0,方差D(T)=n/(n-2),(n>2). T的密度函数为偶函数； g-元，即n充分大时，分布近似V0. 但n较小时，t分布与N(0,1)分布相差很大 分布的尾部比标准正态分布的尾部具有更大的概率 n≤45时，查附表求P(T>ta(n)=a t分布的上侧a分位数 n>45时，ta≈ua, D
即n充分大时, t分布近似 N(0,1). T 的密度函数为偶函数； (其中X～N(0,1), Y～ 2 (n), X 与 Y 相互独立) Y n X T 所服从的分布, 二、自由度为 n 的 t 分布 T ～ t (n) 数学期望 E(T)= 0 , ——随机变量 , 2 1 lim ( ) 2 2 x n f x e 方差 D(T)= n/(n-2) , (n> 2). t 分布的尾部比标准正态分布的尾部具有更大的概率 但 n 较小时，t 分布与 N(0,1)分布相差很大 查附表求 P(T > t (n))= t u , t 分布的上侧 分位数 n 45 时, n > 45 时，
三、第一自由度为m,第二自由度为n的F分布F~F(m,n) 统计量F= Xm 所服从的分布 Yn (随机变量X与Y独立，且Y~x2(m,Y~x2(m)) 数学期望E(X)=m”2,>2.一 不依赖于第一自由度 F分布的性质：10若X~F(m,n),则1/X~F(n,m). 20若Xt(n),则X2~F(1,n); 查F分布附表可求P(F>Fa(m,n))=a&, F分布上侧a分位数的性质Fi-a(m,)=F(m,m· D
( 随机变量X与Y独立, 且Y～ 2 (m), Y～ 2 (n) ) 所服从的分布 Y n X m F 三、第一自由度为m , 第二自由度为n 的F 分布 F ~ F(m, n) 数学期望 , 2. 2 ( ) n n n E X —— 统计量 F 分布的性质: 10 若X ~F(m, n), 则 1/X ~F(n, m). 20 若 X ~ t (n), 则 X 2 ~ F(1, n); 不依赖于第一自由度 . ( , ) 1 ( , ) 1 F n m F m n 查 F 分布附表可求 P(F >F(m,n) )= , F 分布上侧 分位数的性质
§6.3 抽样分布 统计量是样本的函数，是依赖于样本的， 后者是随机变量 所以统计量也是随机变量，因而就有它们自己一定的分布，这个 分布叫做统计量的“抽样分布” 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决 于其抽样分布的性质. 精确抽样分布一一小样本问题中使用 抽样分布 渐近分布一一大样本问题中使用 抽样分布就是通常的随机变量函数的分布，只是强调这一分 布是由一个统计量所产生的.所以在理论上只要知道总体的分布就 可以求出统计量的分布，但实际操作一般都很难求. 重点以正态分布为背景，给出几个常用统计量的抽样分布
只是强调这一分 布是由一个统计量所产生的. 统计量是样本的函数, 是依赖于样本的, §6.3 抽样分布 抽样分布 精确抽样分布 渐近分布 ——小样本问题中使用 ——大样本问题中使用 这个 分布叫做统计量的“抽样分布” . 后者是随机变量, 所以统计量也是随机变量, 因而就有它们自己一定的分布, 抽样分布就是通常的随机变量函数的分布, 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决 于其抽样分布的性质. 所以在理论上只要知道总体的分布就 可以求出统计量的分布, 但实际操作一般都很难求. 重点以正态分布为背景, 给出几个常用统计量的抽样分布
一、正态总体的抽样分布定理 当总体为正态分布时，教材上给出了4个重要的抽样分布定理 定理1一一样本均值、方差的分布R.141Th6.1) 设X1,X2,…,Xn是 取自正态总体N(μ，o2)的样本，则 ⑩X~N(4,): 正态分布的线性组合仍服从正态分布(P115例18) E=μ，DR=o2n(样本矩性质1P184Th1) 2) a5-玄K-xrs2 i=1 (3)X和S2相互独立. (2)与(3)证明参见参考文献 n=16 0.4 1=6 0.2 7 0 0 5 10 15 0 10 20
设 X1,X2,„,Xn 是 取自正态总体N(,2)的样本, 当总体为正态分布时, 教材上给出了 4 个重要的抽样分布定理. 一、正态总体的抽样分布定理 定理1 则 (1) ~ ( , ); 2 n X N n i Xi X n S 1 2 2 2 2 ( ) ( 1) 1 (2) (3) . X 和S 2相互独立 EX= , DX= 2 /n (样本矩性质1 P184Th1) 正态分布的线性组合仍服从正态分布(P115例18) 2 2 nSn ~ ( 1); 2 n (2)与(3)证明参见参考文献 ——样本均值、方差的分布(P.141 Th6.1)
定理2一一样本均值和方差标准化的抽样分布(P.142T) 设X1,X2,,X是取自正态总体N(山，σ2)的样本，则 X-4 X-4 ~t(n-1) Sn/An-1 证由定理t1的()知X~N(4,), → -业 ~N(0,1) on 由定理1的(3)与(2)知 :与 (n-1)S2 02 相互独立，且 X-4 由T分布定义知 X-4 Gn ~t(n-1). g2 上述两个定理中所涉及到的样本均是来自同一个正态总体， 但实际中，我们还经常需要考察来自不同的正态总体样本.不妨假 定取自不同总体的样本总是独立的
不妨假 定取自不同总体的样本总是独立的. 但实际中, 我们还经常需要考察来自不同的正态总体样本. 设 X1, X2, „, Xn 是取自正态总体 N(,2)的样本, 则 ~ ( 1) 1 t n S n X n 定理2——样本均值和方差标准化的抽样分布(P.142 Th) S n X n i Xi X 1 2 ( ) 证 由定理1的(1)知 ~ ( , )， 2 n X N ~ N(0,1)， n X 由定理1的(3)与(2)知 n X 2 2 ( 1) 与 n S 相互独立, 且 ~ ( 1), ( 1) 2 2 2 n n S 由 T 分布定义知 ~ ( 1) . 2 2 t n S n X S n X 上述两个定理中所涉及到的样本均是来自同一个正态总体
定理3一一 两个正态总体的抽样分布(P.142Th) 设X,,,Xm是取自正态总体N(山☑的样本，Y,2,,Yn 是取自正态总体N(h☑的样本，则 卫-（山= (X-) ≈N0,1); 独立正态分布 D(X-) 的连续函数 (2) ~F(m,； 3) S/σ ~F(m-1,n-1), 含（出-4Pnci 其中Sx2,S,2分别是这两个样本的样本方差 证(2) -41~N0,1),由x2分布的定义知。(X-4x(m: O1 同 ,房(-一m:相互独立，由F分布的定义知 证(3) S/o1_(m-1)）S/o(m-1) (n-1)So(n-1) 由F分布定义知(3)成立. (m-1)S_ 含(xm-: 1 同理， n-可S-x2n-0；
Y1, Y2, „, Yn 是取自正态总体 N(2 ,2 2)的样本, 相互独立, (3) 2 ~ ( 1, 1)， 2 2 2 1 2 F m n S S Y X 则 定理3 —— 两个正态总体的抽样分布(P.142 Th) 其中 SX 2 , SY 2分别是这两个样本的样本方差 . 设 X1, X2, „, Xm 是取自正态总体 N(1 ,1 2)的样本, ~ ( , ); ( ) ( ) (2) 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 F m n Y n X m n i i m i i E(X Y ) 独立正态分布 D(X Y ) 的连续函数 证(2) 由 ~ (0,1) , 2 分布的定义知 1 1 N Xi 同理, ( ) ~ ( ); 1 2 2 1 2 1 1 X m m i i 证(3) , ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 n S n m S m S S Y X Y X m i i X X X m S 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( 1) 1 同理, ~ ( 1); ( 1) 2 2 2 2 n n SY ( ) ~ ( ); 1 2 2 1 2 2 2 Y n n i i ~ ( 1); 2 m Th1(2) 由F 分布定义知(3)成立. ~ (0, 1); ( ) (1) 2 2 2 1 1 2 N m n X Y 由F 分布的定义知
定理4一一两同方差正态总体的抽样分布(P.142Th) 设X,X,,Xm是取自正态总体N(山，o2)的样本，Y1,Y2,,Yn 是取自正态总体N(山，σ2)的样本，则有 吴了h二华-m+n-2),(S。=V (m-1)S录+(n-1)S2 m+n-2 m+n 定理6.1的特例 (2) 其中Sx2,S2分别是这两个样本的样本方差 证(1)由两异方差总体的抽样定理之(1)： -T-(山-2)~N0,1); m足-xm-1,a超-x-:品+4 2 且相互独立，由x2分布的可加性知m-S主r-S-xm+m-2); 由t分布的定义知 X-7-(41-2) ~t(m+n-2), m-1)S+(n-1)S2 1 m+n-2 \m+n
定理4 Y1, Y2, „, Yn 是取自正态总体 N(2 ,2)的样本, ~ ( 2) , 1 1 ( ) (1) 1 2 t m n m n S X Y 其中SX 2 , SY 2分别是这两个样本的样本方差. 则有 —— 两同方差正态总体的抽样分布(P.142 Th) 证(1) 设 X1, X2, „, Xm 是取自正态总体 N(1 ,2)的样本, ) ; 2 ( 1) ( 1) ( 2 2 m n m S n S S X Y 2 ~ ( 1, 1) . 2 F m n S S Y X (2) 定理6.1的特例 由两异方差总体的抽样定理之(1)： ~ (0, 1); 1 1 ( 1 2 ) N m n X Y ~ ( 1)， ( 1) 2 2 2 m m SX ~ ( 1); ( 1) 2 2 2 n n SY 且相互独立, 由 2 分布的可加性知 ~ ( 2); ( 1) ( 1) 2 2 2 2 m n m SX n SY 由 t 分布的定义知 ~ ( 2) , 1 1 2 ( 1) ( 1) ( ) 2 2 1 2 t m n m n m n m S n S X Y X Y
二、非正态总体的抽样分布定理 定理5一一样本均值、方差的分布 设X1,…,Xm是取自均值为 4,方差为o2的总体的一个样本，则当充分大时，近似地有 (①)X≈N(,): (2) X一业 ~N(0,1). 独立同分布 独立同分布 中心极限定理 中心极限定理 中心极限定理的题型查阅参考文献. D
二、非正态总体的抽样分布定理 设 X1,„,Xn 是取自均值为 , 方差为2的总体的一个样本, 定理5 则当n充分大时, 近似地有 (1) ~ ( , ); 2 n X N (2) ~ N(0, 1) . S n X ——样本均值、方差的分布 独立同分布 中心极限定理 独立同分布 中心极限定理 中心极限定理的题型查阅参考文献
