答案：本科概率论与数理统计测试题（三） 一、填空题 1解设随机变量X,- 1 第个元件发生故障 其它 则P{X,-1}=0.2+0.1(i-1), P{X,=0}=0.8-0.1(i-1), 故EX,=0.2+0.1(i-1),而X=∑X,由数学期望的性质，有 Ex=2X,-2I02+01G-1=2 故应填2 2.解设截面的直径为X,则X服从[0,2上的均匀分布，其密度函数fx(x)为 人-尽ep2回 而横截面积S=π()=X, 4 0,其它 3 2 DS-ES-(ES)EX 2 945 故应分别填和4π 45 3解：X约服从a》x+y=n)=经)-号Dx)=D0)-登 m)-4ex-x=a-t号--e0r-号--- o小-w-a-号-号-号品手 =4=-1 4 4程定4r时6a加-女0-g =时，有-生所似--氏-生到。=0 故应分别填，1b-a 一和0 k+1 b-a 二、选择题
答案:本科概率论与数理统计测试题(三) 一、填空题 [0.2 0.1( 1)] 2. 2. 0.2 0.1( 1) { 1} 0.2 0.1( 1), { 0} 0.8 0.1( 1), 0 1, 1. 5 1 5 1 5 1 ＝ 故应填 故 ，而 ，由数学期望的性质，有 则 ， 其它 第 个元件发生故障 解 设随机变量 = + − = = + − = = = + − = = − − ⎩ ⎨ ⎧ = ∑ ∑ ∑ = = = i i i i i i i i i EX EX i EX i X X P X i P X i i X [ ] [ ] 45 4 3 45 4 9 d 2 1 9 16 EX 16 DS ES ES , 3 d 2 1 4 EX 4 ES X 2 4 X S 0, , 0,2 2 1 ( ) 2. X X 0 2 ) 2 2 2 2 4 0 2 2 4 2 2 2 2 2 0 2 2 2 X X π π π π π π π π π π π π 故应分别填 和 ＝ －（ ）＝ － ＝ 因此， ＝ ＝ 而横截面积 ＝ （ ）＝ ， 其它 解 设截面的直径为 ，则 服从 ，上的均匀分布，其密度函数 （ 为 ∫ ∫ ⋅ − = ⋅ = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ = x x x x x f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) ( ) ( )() ( ) ( ) ( ) 1 4 cov , 4 , 4 4 4 4 cov , , 2 2 4 4 4 4 , 4 , 4 , 2 , 2 , 2 1 3. , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − − = ⋅ = − = − − = − = = − = − = − − = − − = − ⎟ + = ∴ = = = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n n D X D Y n n n n X Y X Y E XY E X E Y n n n n n D X E X n E XY E nX X nE X E X n D Y n D X n E Y n X Y B n X Y n E X ρ XY 解： 与 均服从 且 ( ) ( ) 0. 1 1 d 0 1 2 , 2 1 1 1 1 1 d 1 4. 1 1 3 3 1 1 1 故应分别填 和 当 时，有 所以 解 由定义 b a b a k x b a b a E X EX x a b k EX b a b a b a k x k x b a E X x k k b a k k b a k b k a k − − ⋅ + = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = − + = = − − ⋅ + = − ⋅ + = − = + + + + + ∫ ∫ 二、选择题
1.解随机变量X的概率密度为f(x)=F'(x)= 3x2,0≤x≤1 0,其它 EX=∫txf(x)dr=∫63x'dr 故应选(B) 2.解(B)由已知条件可得E(X)=3,D(X)=2.1,E(Y)=4,DY)=2.4 所以E(2X-Y)2=[E(2X-Y)]2+D(2X-Y) =[2E(X)-E(Y)]2+4D(X)+D(Y)=14.8 3解D)离去的概率PX>10=a=e 离去的次数P(Y≥1)=1-PY=0)=1-(1-e2)5 4.解：covU,V）=E[U-EU)-EW)川 -EUW)-[EU)EW】-EX2-Y2）-[EXP+[EY =E(X)-E()-[E(X+E(Y) =[Ex2）-(E(x]-[E02）-(EY]=Dx）)-D)=0 covU,V）=0 所以pw=D而-D0 5解因为当X~N(4,o2)时E(不)=4，DX)=g 所以 Ex=l,D)=于是1 ---ta--0 }÷-0÷-2若 已知当c=2/Wn时 L所以c项正确 三、计算证明题 1解的数学期)=3号号减()=0品+1苦+ 1+2x+3x8-6 125 125-5
＝ 故应选（ ） 其它 ， 解 随机变量 的概率密度为 ＋ EX － ( )d 3 d B 0, 3 0 1 1. X ( ) F ( ) 1 3 0 2 ∫ ∫ = ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ = ′ = ∞ ∞ xf x x x x x x f x x [2 ( ) ( )] 4 ( ) ( ) 14.8 (2 ) [ (2 )] (2 ) 2. ( ) ( ) 3, ( ) 2.1, ( ) 4, ( ) 2.4 2 2 2 = − + + = − = − + − = = = = E X E Y D X D Y E X Y E X Y D X Y B E X D X E Y D Y 所以 解 由已知条件可得 2 5 2 10 5 ( 1) 1 ( 0) 1 (1 ) 5 1 3. ( ) ( 10) − − +∞ − ≥ = − = = − − > = = ∫ P Y P Y e D P X e dx e x 离去的次数 解 离去的概率 ( ) () [ ] ( )( ( )) ( ) ( )() [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) () [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) 0 cov , 0 4. cov , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = ⋅ = = − − − = − = = − − + = − = − − + = − − D U D V U V E X E X E Y EY D X D Y E X E Y E X E Y E UV E U E V E X Y E X E Y U V E U E U V E V 所以 ρ UV 解： 1, C . 1 2 , 1 2 ( ) 1 ( 1) 1 1 [ ( ) 1] 0, 1 ( 1) 2 1 1 ( ) 1 ( ) 5. ~ ( , ) ( ) , ( ) 2 2 2 2 2 2 2 已知当 ＝ 时 所以（ ）项正确 所以 ＝ ， ＝ 于是 解 因为当 时 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − = = ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − = − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = = c X c n D c n D X c D X c c X D E X c E X c c X E n E X D X n X N E X D X σ μ σ μ 三、计算证明题 ( ) ( ) 5 6 125 8 3 125 36 2 125 54 1 125 27 0 5 6 5 2 1.解 X的数学期望E X = 3⋅ = 或E X = × + × + × + × =
2.分析引入随机变量X（=1,2,…,)表示电梯在第层停的次数，即 1,在第层楼有人下梯 Xi= i=1,2,…,n 0,在第层楼无人下梯 因每个人在任何一层下梯的概率为二，若k个人都不在第层下梯，则电梯在该层不停 而此时的概率为 P=叭-(-于是Pg,==1-- 显然，电梯的停梯次数X=X,+X2+…+Xn,故有 EX=E(X1+X2+…+Xn)=EX,+EX2+…+EX, 而，=1-- i=12,…n, t--门n--门 3.解X的概率分布密度为p(x)=F(x)= 0<x≤4 0, 其它 B00-小oet样-若i-2 DX)=EX)-EX=号 =1+4-2=3 oCY.r)-jcwGr.x)+cov(x.r-3.4-0 cov(X,Z) 0 所以，Ppz=DxDz 5解0要信计的概率P州贰君水高=PIX-0k6侧相当于在切比当夫 不等式中取ε=60，于是由切比雪夫不等式可得 Pm点-名水=P1-1o0k6212g1-g×1o0 =1-0.2315=0.7685 602 6 3600 2)由拉普拉斯中心极限定理，二项分布B(60,3可用正态分布N10,?×100)近似， 于是所求概率为PH点-款尚-州K-100k6侧= X-1000 60 巨x100 巨×1000 ≈2Φ(2.0784)-1=2×0.98124≈0.9625 比较两个结果，用切比雪夫不等式估计是比较粗略的
( ) { } { } ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = = − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − = + + + = + + + = + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = = − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = − = ⎩ ⎨ ⎧ = = k k k i n n n k i k i i i n n n i n EX n n EX EX E X X X EX EX EX X X X X n P X n P X k i n i n i i X X i n i 1 1 1 1 1,2, , 1 1 1 1 1 , 1 . 0 1 1 1 0 1 , 1 1,2, , 0 1, 2. 1,2, , 1 2 1 2 1 2 而 因此 故应填 显然，电梯的停梯次数 故有 而此时的概率为 于是 因每个人在任何一层下梯的概率为 若 个人都不在第 层下梯，则电梯在该层不停 ，在第 层楼无人下梯 在第 层楼有人下梯 分析 引入随机变量 表示电梯在第 层停的次数，即 L L L L L L [ ] . 3 4 , ( ) ( ) ( ) 3 16 | 4 3 1 d 4 ( ) ( )d | 2, 8 d 4 ( ) ( )d 0, , 0 4 4 1 3. ( ) '( ) 4 2 2 0 3 4 0 2 2 2 4 0 2 4 0 = = ⋅ = = − = = = = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≤ = = ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ D X E X E X x x x E X x x x x x x E X x x x x X x F x ＝ ＝ 其它 解 的概率分布密度为 ϕ ϕ ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 cov , 3 4 0 2 1 2 1 3 3 1 cov , 2 1 cov , 3 1 cov , 1 4 2 3 2 4 3 3 2 1 2 2 4 3 3 ' 3 1 2 0 3 1 4. 2 2 2 2 2 = ⋅ = ⎟⋅ ⋅ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + = ⋅ + − ⎟⋅ ⋅ = + − = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + = = + + − DX DZ X Z X Y X X X Y EZ DZ 所以，ρ XZ 解： ， . 2 (2.0784) 1 2 0.98124 0.9625 } 1000 6 5 60 | 1000 6 5 1000 } {| 1000 | 60} {| 100 1 | 6 1 6000 {| 1000) 6 5 ) (1000, 6 1 (2) (6000, 1 0.2315 0.7685 3600 1 1000 6 5 1 60 ( ) } {| 1000 | 60} 1 100 1 | 6 1 6000 {| 60 } {| 1000 | 60} 100 1 | 6 1 6000 5. (1) {| 0 2 比较两个结果，用切比雪夫不等式估计是比较粗略的 － 于是所求概率为 ＝ 由拉普拉斯中心极限定理，二项分布 可用正态分布 近似， － 不等式中取 ，于是由切比雪夫不等式可得 解 要估计的概率 相当于在切比雪夫 ≈ Φ − = × ≈ × < × − < = − < × − < = − < ≥ = − × × = − = = − < = − < X P X P X P B N D X P X X P P X X P ε
6解 ①用灭表示样本均值，则有 -3.4n-N(0,) 6 从而有 P14<X<54)=P-2n<X-34n<2m 6 6 6 q出--）=2，-1205 3 3 即 号)20975由此得 ≥1.96 3 即 n≥(1.96×3)2≈34.57所以n至少应取35 ②由。'=6？得-上万~N01,从而得其均值u的置信区间的长度为 6 2:品2即≥：o=66e,此，a至少改
(1.96 3) 34.57 35. 1.96 3 ) 0.975 3 ( ) 1 0.95 3 ) 2 ( 3 ) ( 3 ( ) 6 2 6 3.4 6 2 (1.4 5.4) ( ~ (0,1), 6 3.4 6. 即 2 所以 至少应取 即 由此得 从而有 解 ① 用 表示样本均值，则有 n n n n n n n n n n X P X P n N X X ≥ × ≈ Φ ≥ ≥ = Φ − Φ − = Φ − ≥ < − < < = − < − 2 · 2 ( · ) (1.96 6) ?. ~ (0,1) 6 6 2 2 2 2 2 2 ，即 ，此时， 至少应取 ②由 得 ，从而得其均值 的置信区间的长度为 n u n n u n N X a ≤ ≥ a = × ≈ − = σ σ μ μ σ
