答案：本科概率论与数理统计测试题（一） 一、填空题 =P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC 1解 =P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C)(因为A,B,C两两相互独立) 设P=a则上式写成名=3p-3p2,解得P=号 2解设B为“第一次取到新球”，则B为“第一次取到旧球”，又设A为 “第二次取到新球”由题意知P)=P同=专PB列=子P(4=由 全概率公式，得 P-d到+r国4-子号 故应锁？ 3解设折得的三段长度为x,y和1-x-y,那么，样本空间 2={(x,y)0≤x≤1,0≤y≤1,0≤x+y≤1}，而随机事件A:"三段构成三角形" 相应的子区域G应满足"两边之和大于第三边"的原则，从而得到联立方程组： (1-x-y<x+y x<(1-x-y)+y [y<(1-x-y)+x 即G=n10<x号0<y号+y<n 从图1-2中可以得到相应的几何概率：P(A)=1/4 4解因为A、B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B) P(AUB)=P (A)+P (B)-P (AB) =P(A)+P(B)-P(A)P(B) 得0.6=0.4+P(B)-0.4P(B) P(B)=02=1 0.63
答案:本科概率论与数理统计测试题(一) 一、填空题 4 1 3 3 , 16 9 ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 16 9 1. 2 = = − = = + + − − − = = + + − − − + P A p p p p P A P B P C P A P B P A P C P B P C A B C P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC 设 则上式写成 解得 因为 两两相互独立 解 U U . 5 3 5 3 4 3 5 2 4 2 5 3 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) , 4 3 , ( | ) 4 2 , ( | ) 5 2 , ( ) 5 3 . ( ) 2. 故应填 全概率公式，得 “第二次取到新球”由题意知 由 解 设 为“第一次取到新球”，则 为“第一次取到旧球”，又设 为 = + = × + × = = = = = P A P B P A B P B P A B P B P B P A B P A B B B A 1 2 : ( ) 1/ 4 }. 2 , 2 ,0 2 {( , ) | 0 ( ) ( ) " " , : {( , ) 0 ,0 ,0 ,}, :" " 3. , , , − = = < < < < < + < ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < − − + < − − + − − < + Ω = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ − − P A x y l l l y l G x y x y l x y x x l x y y l x y x y G x y x l y l x y l A x y l x y 从图 中可以得到相应的几何概率 即 相应的子区域 应满足 两边之和大于第三边 的原则 从而得到联立方程组 而随机事件 三段构成三角形 解 设折得的三段长度为 和 那么 样本空间 3 1 0.6 0.2 P B 0.6 0.4 P B 0.4P B P A P B P A P B P A B P A P B P AB 4. A B P AB P A P B （ ）＝ ＝ 得 ＝ ＋ （ ）－ （ ） ＝ （ ）＋ （ ）－ （ ） （ ） 由 （ ）＝ （ ）＋ （ ）－ （ ） 解 因为 、 相互独立，所以 （ ）＝ （ ） （ ） ∪
5解由概率的加法公式和概率的包含可减性知 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)-P(B)-P(AB)=1-P(A)+P(AB) 由题设可知0.7=1-a+P(AB) (1) (1)若事件A与B互不相容，则AB=中，P(AB)=0,代入上式得a=0.3 (2)若事件A与B相互独立，则有 P(AB)=P(A)·P(B) (2) 将(2)式代入（①）式右端，可得 0.7=1-a+0.3a 3 于是解得 a1 二、选择题 1.解至少两面涂有红漆的小正方体的个数为：5×12-2×8=44，而事件总数为125， 故p=4=0.352.所以应选(D) 2.解因为P(A|B)+P(A|B)=P(A|B)+1-P(A|B)=1 所以P(A|B)-P(A|B)=O,P(A|B)=P(A|B) P(AB)-P(AB),P(AB)I1-P(B)]=P(B)P(AB) P(B)P(B) P(AB)=P(B)[P(AB)+P(AB)]=P(B)P[A(B+B)1=P(B)P(A) 所以应选(D) 3.解应选(D) 4.解(B)设A表示取到的一个产品为等品(1=1,2,3)，显然，A,A,A为互斥 90 事件组，由题义知P(A)=P(AUA2)=P(A)+P(A,)= 100 P41A)=P44-P4U44)-60%_2 P(A) P(A3) 90%3 5.解(B)A="取出的两件中至少有一件次品”，B="取出的两件全是次品” P(BIA)=P(AB)=P(B)=CilCi1 P(A) P(A)1-C/Cio 三、计算证明题 1解把三门炮击中敌机分别记为A、B、C.由题意，可设A、B、C是相互独立的， 敌机被击中可表为AUBUC, P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
[ ] . 7 3 (2) (1) 0.7 1 0.3 ( ) ( ) · ( ) (2) (2) (1) , ( ) 0, 0.3; 0.7 1 ( ) (1) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5. = = − + = = = = = − + = + − − = − + = + − a a a P AB P A P B A B A B AB P AB a a P AB P A P B P B P AB P A P AB P A B P A P B P AB 于是解得 将 式代入 式右端，可得 若事件 与 相互独立，则有 若事件 与 互不相容，则 代入上式得 由题设可知 解 由概率的加法公式和概率的包含可减性知 φ U 二、选择题 0.352. ( ). 125 44 1. 5 12 2 8 44 125 故 p 所以应选 D 解 至少两面涂有红漆的小正方体的个数为： ，而事件总数为 ， = = × − × = ( ). ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) [ ( )] ( ) ( ) , ( )[1 ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( | ) 0, ( | ) ( | ) 2. ( | ) ( | ) ( | ) 1 ( | ) 1 D P AB P B P AB P AB P B P A B B P B P A P AB P B P B P AB P B P AB P B P AB P A B P A B P A B P A B P A B P A B P A B P A B 所以应选 所以 解 因为 = + = + = = − = − = = + = + − = 3.解 应选(D) . 3 2 90% 60% ( ) ( ) ( ) ( ( | ) 100 90 ( ) ( ) ( ) ( ) 4. ( ) ( 1,2,3), , , 3 1 1 2 3 1 3 3 1 3 1 2 1 2 1 2 3 = = = = = = + = = P A P A A A P A P A A P A A P A P A A P A P A B Ai i i A A A U 事件组，由题义知 U 解 设 表示取到的一个产品为 等品 显然， 为互斥 . 5 1 1 / / ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) 5. ( ) " " " " 2 10 2 6 2 10 2 4 = − = = = = = C C C C P A P B P A P AB P B A 解 B A 取出的两件中至少有一件次品 ，B 取出的两件全是次品 三、计算证明题 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1. . P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC A B C A B C A B C U U = + + − − − + 敌机被击中可表为 U U 解 把三门炮击中敌机分别记为 、 、 由题意，可设 、 、 是相互独立的
1,1,1111111,1113 2342324342344 2解设B,为“从甲袋中取出两个白球放入乙袋”，B,为“从甲袋中取出两个黑球 放入乙袋”，B,为“从甲袋中取出一个白球和一个黑球放入乙袋”，A为“从乙 袋中取出一球是白球”，则B,B,B,构成一互斥完备事件组.依题意 P(B)10 48)-治 A4IB,)-& R4利B)=8 由全概率公式，得 P(A)=∑P(B,)P(A|B,) i=1 =3×6+1x465 =0.52 101010101010 3.解一般骰子掷两次，其基本事件总数为36，方程有实根的充分必要条件是 B2≥4C,或C≤B2/4,易见 B 123456 使C≤B2/4的基本事件个数012466 使C=B2/4的基本事件个数010100 由此可见，使方程有实根的的基本事件个数为1+2+4+6+6=19.因此p=5 方程有重根的充分必要条件是B2=4C或C=B/4,满足此条件的基本事件共 有2个因此g=2=1 3618 4.解：设A,=第i人抓到}=1,2,3,4,5 P(AA,)=P(A)P(AA)=I-).=1 545 5.解设A={顾客买下该箱}，B.={该箱中有i件残次品}，i=0,1,2 则有 P(B)-08.P(B)-P(B)-0.1P(4IB)-1.P(4IB)-(AIB) C 故所求概率p=P(A)=P(B,)P(A|B。)+P(B)P(A|B)+P(B2)P(AB2) 4 is≈0.94 74 0.8×1+0.1×+0.1×C q=P(BA)=P(AB,)=P(B)P(AIB)_0.8x1 ≈0.85 P(A) P(A) 0.94
4 3 4 1 · 3 1 · 2 1 4 1 · 3 1 4 1 · 2 1 3 1 · 2 1 4 1 3 1 2 1 = + + − − − + = , 10 6 , ( ) 10 1 , ( ) 10 3 ( ) , , . 2. 2 5 1 2 1 3 2 3 5 2 2 2 2 5 2 3 1 1 2 3 3 1 2 = = = = = = C C C P B C C P B C C P B B B B B A B B 袋中取出一球是白球”，则 构成一互斥完备事件组 依题意 放入乙袋”， 为“从甲袋中取出一个白球和一个黑球放入乙袋”， 为“从乙 解 设 为“从甲袋中取出两个白球放入乙袋”， 为“从甲袋中取出两个黑球 0.52 10 5 10 6 10 4 10 1 10 6 10 3 ( ) ( ) ( | ) 10 5 ( | ) 10 4 ( | ) 10 6 ( | ) 3 1 1 2 3 = × + × + × = = = = = ∑i= P A P Bi P A Bi P A B P A B P A B 由全概率公式，得 . 18 1 36 2 2 . 4 4 . 36 19 1 2 4 6 6 19 . 4 0 1 0 1 0 0 4 0 1 2 4 6 6 1 2 3 4 5 6 4 , 4 , 3. 36 2 2 2 2 2 2 = = = = + + + + = = ≤ ≥ ≤ q B C C B p C B C B B B C C B 有 个 因此 方程有重根的充分必要条件是 或 ，满足此条件的基本事件共 由此可见，使方程有实根的的基本事件个数为 因此 使 ＝ 的基本事件个数 使 的基本事件个数 或 易见 解 一般骰子掷两次，其基本事件总数为 ，方程有实根的充分必要条件是 { } 5 1 4 1 5 1 P A A P A P A A 1 4. A i 1 2 3 4 5 1 2 1 2 1 i （ ）＝ （ ） （ ）＝（－ ） ＝ 解：设 ＝第 人抓到 ＝，，，， ⋅ i 0.8 1 0.1 0.1 0.94 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) 0.8, ( ) ( ) 0.1, ( | ) 1, ( | ) , ( | ) 5. { } { } 0,1, 2. 4 20 4 18 4 20 4 19 0 0 1 1 2 2 4 20 4 18 4 2 20 4 19 0 1 2 0 1 = × + × + × ≈ = = + + = = = = = = = = = C C C C p P A P B P A B P B P A B P B P A B C C P A B C C P B P B P B P A B P A B A B i i i 故所求概率 则有 解 设 顾客买下该箱 ， 该箱中有 件残次品 ， 0.85 0.94 0.8 1 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) 0 0 0 0 ≈ × = = = = P A P B P A B P A P AB q P B A
6解设A表示取出的第i个球为白球，则所求的概率为 P(A4A)=P(AA(AAA)=P(A)P(AA)P(AAA) =b.b+c.a a+b a+b+c a+b+2c 7解设没有一双成对的事件个数为：C·24.基本事件总数为C0, 则至少有一双成对的概率为：1-C:2=13 C621
a b c a a b c b c a b b P A A A P A A A A A P A P A A P A A A A i i 2 · · ( ) ( )( | ) ( ) ( | ) ( | ) 6. 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 3 1 2 + + + + + + = = = 解 设 表示取出的第 个球为白球，则所求的概率为 21 ·2 13 1 7. ·2 . , 4 10 4 4 5 4 10 4 4 5 − = C C C C 则至少有一双成对的概率为： 解 设没有一双成对的事件个数为： 基本事件总数为