巴塞尔问题 天精之音一黎 受餐设 ■1644年，19岁的意大利大学生皮特罗·蒙格里(Pietro Mengoli)提出了诸位现在能够迅速解答的下述无穷级数 巴素尔阿 题一19岁大乎 求和问题： 生引发的故事 G一击求一果变 1111 的种秋量某 1+22++++= 大里金睛一望 n=1 翼设 异想天开之望 ■蒙格里的问题难倒了所有意大利人，于是北上到了该时 证设 代世界第一数学世家伯努利家族.1689年伯努利三兄弟 的老大雅克布·伯努利(Jakob Bernoulli, 1654.12.27-1705.8.16)以该问题在瑞士巴塞尔公开挑战 三兄弟中最有成就的小弟约翰(1667.8.6-1748.1.1)，巴塞 尔问题因此得名. ■老大终于战胜了小弟，因为约翰要在大哥身后30年才能 给出巴塞尔问题的解答
UæÉ——i ˘b nlØ K—19ïåÆ )⁄uØ ζ-ºÍ—i˘ ìá ª˙7´—i ˘b …éUmÉi ˘b nlØK 1644 c, 19ïøå|åÆ)ôA¤#ÑÇp(Pietro Mengoli)J— Æy3U ×Ñ)âe„ð?Í ¶⁄ØK: 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + 1 5 2 + · · · = X∞ n=1 1 n 2 =? ÑÇpØKJ §køå|<, u¥˛ Tû ì.1òÍÆ[À„|[x. 1689 cÀ„|n73 På‰éŸ#À„|(Jakob Bernoulli, 1654.12.27-1705.8.16) ±TØK3a¨nl˙m]‘ n73•Åk§“3ø(1667.8.6-1748.1.1), nl ØKœd¶. På™u‘ë 3, œèøá3åx 30 c‚U â—nlØK)â.
黎受（函数 天预之音一黎 受餐设 ■以下总记 巴素尔阿 0. 题一19岁大乎 生引发的故事 (s)= G一击求一果变 n=] 的种秋量笑 大单全睛一梨 此即所谓黎受(-函数. 受氧设 ■当s=1时，黎受(-函数就是著名的调和级数 并想天开之梨 证设 (1)= n n=1 1350年左右，即已知调和级数是发散的，但其源于音乐 “和声”的本质一如既往.调和级数怎样反映和声？
UæÉ——i ˘b nlØ K—19ïåÆ )⁄uØ ζ-ºÍ—i˘ ìá ª˙7´—i ˘b …éUmÉi ˘b i˘ζ-ºÍ ±eoP ζ(s) = X∞ n=1 1 n s d=§¢i˘ζ-ºÍ. s = 1 û, i˘ζ-ºÍ“¥Õ¶N⁄?Í ζ(1) = X∞ n=1 1 n 1350cÜm, =ÆN⁄?Í¥u—, Ÿ u—W /⁄(0 üòXQ . N⁄?ÍNáN⁄(?
青出于蓝一欧拉妙解巴塞尔问题 天预之音一黎 受餐设 巴素尔阿 题一19岁大乎 ■约翰·伯努利为迎战大哥的巴塞尔问题奋斗了40多年仍 生引发的故事 不得其解，但他有一个青出于蓝的好学生一欧拉 G一击求一果变 的种秋量笑 1735年，欧拉公布了巴塞尔问题的答案： 大单全睛一梨 受翼设 并想天开之梨 =1+2++京+京+= 00 、1 证设 ■需要说明的是，如今诸位得到该答的途径基本上 是1807年诞生的“傅里叶级数”一比欧拉晚了70年！你 能想象欧拉的办法吗？
UæÉ——i ˘b nlØ K—19ïåÆ )⁄uØ ζ-ºÍ—i˘ ìá ª˙7´—i ˘b …éUmÉi ˘b ì—u7—Ó.©)nlØK ø#À„|èH‘åxnlØKØà 40ıcE ÿŸ), ¶kòáì—u7–Æ)—Ó.. 1735c, Ó.˙Ÿ nlØKâY: ζ(2) = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + 1 5 2 + · · · = X∞ n=1 1 n 2 = π 2 6 ! Iá`²¥, X8ÆTâYªƒ ˛ ¥1807c)/Fpì?Í0—'Ó. 70c! \ UéñÓ.ç{Ì?
举重若轻一欧拉的雕虫小技 天预之音一黎 受餐设 x5 x7 x9 sin x =X- (-0<X<+∞) 巴素尔阿 3+5- 7+ 9! 题一19岁大乎 生引发的故事 G击承一架更 sin x x4 x8 的种秋量某 =1- +6 3+5-元+g…,×≠0 大单全晴一梨 受氧设 并想天开之梨 发氧设 =0-尊+草1-点+总）… x2 =(1- ■欧拉只需要比较二次项的系数即可解决困扰数学界半个 多世纪的难题！欧拉比较系数的“举重若轻”与傅里叶 级数的“举轻若重”异曲同工
UæÉ——i ˘b nlØ K—19ïåÆ )⁄uØ ζ-ºÍ—i˘ ìá ª˙7´—i ˘b …éUmÉi ˘b fieî—Ó.H£E sin x = x − x 3 3! + x 5 5! − x 7 7! + x 9 9! − · · · (−∞ < x < +∞) sin x x = 1 − x 2 3! + x 4 5! − x 6 7! + x 8 9! − · · · , x 6= 0 sin x x = (1 − x π )(1 + x π )· · ·(1 − x nπ )(1 + x nπ )· · · = (1 − x 2 π 2 )(1 − x 2 2 2π 2 )· · ·(1 − x 2 n 2π 2 )· · · Ó.êIá'gëXÍ=å)˚(6ÍÆ.åá ıVJK! Ó.'XÍ/fieî0ÜFpì ?Í/fiîe0…”Û.
形变无敌一(-函数在正偶数处的值 天预之音一黎 受餐设 1.1.1.1 T4 4)=1+0+3+40+5+…= 巴素尔阿 90 题一19岁大乎 生引发的故事 1.11,1 π6 G一击求一果变 的种秋量某 61+25+36+++= 945 大里全睛一梨 受氧设 并想天开之梨 证设 G2o)=1+2嘉+嘉+点+6+=24x76979276 1,1,1,1 27I 2wW=1+2+++写+=2✉P41 1 11 2·(2W)！ 此处Bn是伯努利数，由e×的泰勒系数给出，即 0 x ex-1 Bn n! =0
UæÉ——i ˘b nlØ K—19ïåÆ )⁄uØ ζ-ºÍ—i˘ ìá ª˙7´—i ˘b …éUmÉi ˘b /CÃ'—ζ-ºÍ3ÛÍ?ä ζ(4) = 1 + 1 2 4 + 1 3 4 + 1 4 4 + 1 5 4 + · · · = π 4 90 ζ(6)1 + 1 2 6 + 1 3 6 + 1 4 6 + 1 5 6 + · · · = π 6 945 ζ(26) = 1+ 1 2 26 + 1 3 26 + 1 4 26 + 1 5 26 +· · · = 2 24 × 76977927π 26 27! ζ(2N) = 1+ 1 2 2N + 1 3 2N + 1 4 2N + 1 5 2N +· · · = (2π) 2N(−1)N+1B2N 2 · (2N)! d?Bn ¥À„|Í, d x e x−1 VXÍâ—, = x e x − 1 = X∞ n=0 Bn x n n! . . ζ-ºÍ3ÛÍ?äÅ#ÔƒÎÑOscar Ciaurri, Luis M. Navas, Francisco J. Ruiz and Juan L. Varona, A Simple Computation of ζ(2k), Monthly, 2015(5), 444-451
奇偶有别一无限风光在奇数 天预之音一黎 受餐设 巴素尔阿 题一19岁大乎 生引发的故事 ■关于 G击求一架重 的种秋量某 1 1 大里全睛一梨 (3)=1+ 受翼设 23+ 3十43+5+…=？ 并想天开之梨 证设 您能说些什么？ ■如果您能，LEAVE from SJTU IMMEDIATELY,因为您 业已超越伟大的欧拉一他什么都不知道！
UæÉ——i ˘b nlØ K—19ïåÆ )⁄uØ ζ-ºÍ—i˘ ìá ª˙7´—i ˘b …éUmÉi ˘b ¤ÛkO—Ãź13¤Í 'u ζ(3) = 1 + 1 2 3 + 1 3 3 + 1 4 3 + 1 5 3 + · · · =? sU` üo? XJsU, LEAVE from SJTU IMMEDIATELY, œès íÆáïåÓ.—¶üo—ÿ!
奇数无理一(-函数在正奇数处的值 天精之音一黎 受餐设 ■1979年，年逾花甲的法国数学家Roger Apéy到达他的 巴素尔阿 数学颠峰，因为他证明了 题一19岁大乎 生引发的故事 1111 G一击求一果变 的种秋量某 3)=1+2+3++53+… 大单全睛一梨 受翼设 是无理数！ 并想天开之梨 证设 ■2000年，另一位法国数学家Tanguy Rivoal,,证明 了(2n+1),n≥1中有无限多个无理数. ■2001，俄罗斯-澳大利亚数学家Vadim Zudilin证明 了(5)，S(7),(9),(11)中至少有一个是无理数 ■一般猜测，1，(3)，(5)，(7)，，(2n+1),…在有理数 域上线性无关.参见Stephane Fischler,,Distribution of irrational zeta values,arXiv:1310.1685
UæÉ——i ˘b nlØ K—19ïåÆ )⁄uØ ζ-ºÍ—i˘ ìá ª˙7´—i ˘b …éUmÉi ˘b ¤ÍÃn—ζ-ºÍ3¤Í?ä 1979c, c}s`{IÍÆ[Roger ApWry චÍÆ6¸, œè¶y² ζ(3) = 1 + 1 2 3 + 1 3 3 + 1 4 3 + 1 5 3 + · · · ¥ÃnÍ! 2000c, ,ò†{IÍÆ[Tanguy Rivoal, y² ζ(2n + 1), n ≥ 1 •kÃÅıáÃnÍ. 2001, ¤d-eå|ÊÍÆ[Wadim Zudilin y² ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) •ñkòá¥ÃnÍ. òÑflˇ, 1, ζ(3), ζ(5), ζ(7), ..., ζ(2n + 1), ...... 3knÍ ç˛Ç5Ã'. ÎÑStephane Fischler, Distribution of irrational zeta values, arXiv:1310.1685
金光大道一弃实数之暗投复数之明 天预之音一黎 受餐设 巴基水同 ■如果将(S)的定义域扩展至复数域，太阳会从西边升起 程一19岁大平 生引发的故事 吗？一两个实数命题之间的最短路线是复数 (-函数一架变 的神私微笑 ■设x,b∈R且x>0,则xb1=eiblogx1=1. 大里全睛一整 受氧设 ■设z=o+t,则|=nn|=n°. 并想天开之梨 ■设Re(z)>1,则级 是氧设 1,1 数1+2十3网+n +…=1 1 21a3g+.+ 妆丝，国此原级数1+是+是+…+是 +…也收敛 ■故(s)可拓展到实部大于1的复平面
UæÉ——i ˘b nlØ K—19ïåÆ )⁄uØ ζ-ºÍ—i˘ ìá ª˙7´—i ˘b …éUmÉi ˘b 71å—Ô¢ÍÉV›EÍɲ XJÚ ζ(s) ½¬ç*–ñEÍç, ¨l‹>, Ì?—¸á¢Í·KÉmÅ·¥Ç¥EÍ x, b ∈ R Ö x > 0, K|x ib| = |e ib log x | = 1. z = σ + it, K|n z | = |n σ ||n it| = n σ . Re(z) > 1, K? Í1+ 1 |2 z | + 1 |3 z | +...+ 1 |n z | +... = 1+ 1 2 |z| + 1 3 |z| +...+ 1 n |z| +... ¬Ò, œd?Í 1 + 1 2 z + 1 3 z + ... + 1 n z + ... è¬Ò. ζ(s) åˇ–¢‹åu 1 E²°
L-函数一狄利克雷之翻手为云 天精之音一黎 受餐设 ■如何将(-函数的定义域继续扩大至R(z)≤1的左半平 巴妻本同 面？ 超一19岁大平 生引发的故事 (~禹数一架变 的神私服笑 1-会x间=空)-空) 大单全睛一梨 翼设 并想天开之梨 发氧设 =1-宏+++（小+ ■最后这个表达式也是鼎鼎有名，称为狄利克雷L-函数，记 号是(s)(Re(s)>0),即 9=1-2+-年++(1少”房+… 1.11
UæÉ——i ˘b nlØ K—19ïåÆ )⁄uØ ζ-ºÍ—i˘ ìá ª˙7´—i ˘b …éUmÉi ˘b L-ºÍ—)|éXÉÄÃè X¤Ú ζ-ºÍ½¬çUY*åñRe(z) ≤ 1 Üå² °? (1 − 2 2 s )ζ(s) = (X∞ n=1 1 n s ) − ( X∞ n=1 2 (2n) s ) = 1 − 1 2 s + 1 3 s − 1 4 s + ... + (−1)n 1 n s + ... Å˘áLà™è¥ªªk¶, °è)|éX L-ºÍ, P “¥η(s)(Re(s) > 0), = η(s) = 1 − 1 2 s + 1 3 s − 1 4 s + ... + (−1)n 1 n s +
非法变形一垫背者莱布尼兹 天预之音一黎 受餐设 巴妻本同 ss=1-+11 2+本+…+(-1+/01-3) 超一19岁大平 生引发的故事 =n(s)/1-是) (~禹数一架变 的神秋服芙 ■由莱布尼兹判别法，上式右端分子上的这个交错级数对 大里全睛一整 所有的正实数s均收敛！因此，函数(s)的定义域 翼设 并想天开之梨 从(1，+∞)扩大到了(0，+∞)\{1}（即(0,1）U(1,+o∞) 发氧设 然而，上述变形是极不严谨的，应该说是完全错误的！ ■问题出现在第二个等号，即 2 n=1 n=1 1 1 =1- 25+ +…+(-1n+ ■敢问路在何方？
UæÉ——i ˘b nlØ K—19ïåÆ )⁄uØ ζ-ºÍ—i˘ ìá ª˙7´—i ˘b …éUmÉi ˘b ö{C/—=ˆ4ŸZ[ ζ(s) = [1 − 1 2 s + 1 3 s − 1 4 s + ... + (−1)n 1 n s + ...]/(1 − 2 2 s ) = η(s)/(1 − 2 2 s ) d4ŸZ[O{, ˛™m‡©f˛˘áÜ?ÍÈ §k¢Ís ˛¬Òúœd, ºÍζ(s) ½¬ç l (1, +∞) *å (0, +∞) \ {1} (= (0, 1) S (1, +∞))! , , ˛„C/¥4ÿÓ>, AT`¥ Üÿ! ØK—y31á “, = ( X∞ n=1 1 n s ) − ( X∞ n=1 2 (2n) s ) = 1 − 1 2 s + 1 3 s − 1 4 s + ... + (−1)n 1 n s + ... cØ¥3¤ê?