上海交通大学：《数学的天空》课程教学资源（讲义）第四章 天籁之音——黎曼假设

-20. Figure1:黎曼Zeta函数 音乐是感官的数学，数学是心灵的音乐 第四章天籁之音：黎曼假设 本章介绍数学第一难题：黎曼假设(Riemann Hypothesis-=RH) 黎曼假设(1859)函数 的非平凡零点均在直线Re(s)=号上. 1

Figure 1: i˘ZetaºÍ —W¥a(ÍÆßÍÆ¥%(—W 1oŸ UæÉ—µi˘b Ÿ0ÍÆ1òJKµi˘b(Riemann Hypothesis=RH) i˘b(1859) ºÍ ζ(s) = X∞ n=1 1 ns ö²Ö":˛3ÜÇRe(s) = 1 2˛. 1

0 1/2 1/3 0 1/4 5 /7 Figure 2:HarmonicPartials 当s=l时，黎曼C函数恰好是调和级数(harmonic series) 0)=∑=1++3+…+ 11 1 n 十… n=1 上式一般称为调和级数(harmonic series).该名称源自和声(harmony). 2

Figure 2: HarmonicPartials  s = 1 ûßi˘ ζ ºÍT–¥N⁄?Í(harmonic series) ζ(1) = X∞ n=1 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n + · · · ˛™òÑ°èN⁄?Í(harmonic series). T¶° g⁄((harmony). 2

一、音乐与黎曼假设 公元前6世纪，毕达哥拉斯学派发现音乐与比率有关，即拨动琴弦所 产生的声音与琴弦长度有关，并且和声是由长度成整数比的同样绷紧的 弦发出的，由此产生所谓Pythagoras音阶(Pythagorean scale),其基础比率 为3：2（现代乐律中这表示一个纯5度(perfect fifth或P5),其关系如下表（五 度相生律)： 音符名 频率 比率 C-do 261.6 1:1 D-re 294.3 9:8 E-mi 331.0875 81:64 F-fa 34.8 43 G-so 391.5 3:2 A-la 441.45 27:16 B-ti 496.63125 243:128 C-do 523.2 21 注意上表中两个连续的主音的比率是9：8，但次半音的比率是256： 243=28:35.因此连续两个半音并不等于一个主音： 28289 1.10985715=35×35≠8=1.125 换句话说，Pythagoras学派在听音乐时用的数学是 219=312 或 524288=531441. 3

ò!—WÜi˘b ˙c6­Vß.àx.dÆ￾uy—WÜ'«k'ß=Ãåu§ )(—Üåu›k'ßøÖ⁄(¥ d›§Í'” ; uu—ßdd)§¢Pythagoras—(Pythagorean scale)ߟƒ:'« è3:2 (yìWÆ•˘L´òáX5›(perfect fifth½P5))ߟ'XXeL( ›É)Æ)µ —Œ¶ ™« '« C-do 261.6 1:1 D-re 294.3 9:8 E-mi 331.0875 81:64 F-fa 34.8 4:3 G-so 391.5 3:2 A-la 441.45 27:16 B-ti 496.63125 243:128 C-do 523.2 2:1 5ø˛L•¸áÎY×'«¥9 : 8ßgå—'«¥256 : 243 = 28 : 35 . œdÎY¸áå—øÿuòá×µ 1.10985715 = 2 8 3 5 × 2 8 3 5 6= 9 8 = 1.125 ÜÈ{`ßPythagorasÆ￾3f—Wû^ÍÆ¥ 2 19 = 312 ½ 524288 = 531441. 3

Figure 3:A above middle C=440hz 目前国际较为通行（但并非普遍接受）的标准是中央C(middle C)上的 音A的频率为440hz(美国标准协会1936年推荐并被国际标准化协会1976年采 纳为IS016,奥地利政府1885年推荐A=435hz,巴赫Bach的A=480hz,同 时期的韩德尔Handell的A=422.5hz),此即所谓音乐会A(concert A). 实际上，乐律学家推荐的A=439hz(温度为15C=59°F,而在室温 时A=435.5),但钢琴制造商强烈抱怨，因为439是素数！ Pythagorean音阶与当代乐律学说的主流“十二平均律”相比，有较大 差异，见下表： 音符名 频率 比率 middle C 261.6255653 1:1 D 293.6647679 21/6:1 E 329.6275569 2/3:1 F 349.2282314 25/12:1 G 391.995436 27/12:1 A 440.0000000205 23/4:1 B 493.883013 211/12:1 高8度C 523.2511306 2:1 对照Pythagorean音阶表与上表中的音名G,可知Pythagorean音阶的 合理性（假定A=440z是合理的）在于下述数学近似27/12≈3/2或者 0.58333=7/12≈1og2(3/2)=0.5849625007. 4

Figure 3: A above middle C=440hz 8cISèœ1(øö H…)IO¥• C(middle C)˛ —A™«è440hz({IIO¨1936cÌøISIOz¨1976cÊ BèISO 16ßc/|?1885cÌA=435hzßn‚BachA=480hzß” ûœ¸HandelA=422.5hz)ßd=§¢—W¨A(concert A). ¢S˛ßWÆÆ[ÌA=439hz(ß›è15oC = 59oF ß 3øß ûA=435.5)ßgåõE˚rßœè439 ¥ÉÍú Pythagorean—ÜìWÆÆ`Ã6/õ²˛Æ0É'ßkå …ßÑeLµ —Œ¶ ™« '« middle C 261.6255653 1:1 D 293.6647679 2 1/6 : 1 E 329.6275569 2 1/3 : 1 F 349.2282314 2 5/12 : 1 G 391.995436 2 7/12 : 1 A 440.0000000205 2 3/4 : 1 B 493.883013 2 11/12 : 1 p8›C 523.2511306 2:1 ÈÏPythagorean—LܲL•—¶GßåPythagorean— ‹n5(b½A=440hz¥‹n) 3ue„ÍÆCq 2 7/12 ≈ 3/2 ½ˆ 0.58333 = 7/12 ≈ log2 (3/2) = 0.5849625007. 4

精确的音符频率对凰表 符 对应频) 半周5 261.0255653 1911,128250 277.18263 1803.164832 293.6647615 1702.21678 311,t269837 t507.060856 321.275569 1516a63471 低音 349.2282314 1431.728456 4.5 361.9044227 135t.371722 391.99543 t275.525055 55 415.3046976 1203.935334 1136.363636 6 46137615 t72584446 t6123849 1.5 30526 5673295958 851,310839 622.2539674 803.5304932 559.2551138 758.4317353 中音 508.4564629 715.8142329 45 739.988B45 675.6858608 T399087 637,7625274 5 a30.6093952 601.9576672 568,1818182 6 932517523 536.2922231 967.7666025 506.1924535 1046.50226 4777420541 1 111 17.6590 2. 2 09 ,765216 318.510228 379,215867 高音 1396.91292 592114 4.5 1479.97769 337.8429304 1567.98174 38.8812637 5.5 1661.21879 300.9438336 1760 284,040g031 6.5 1864.655046 268,1461116 1975533205 2530362267 1z09180095302241a13885731736 Figure4:音名频率表 课堂习题1.证明1og2(3/2)不是有理数，从而不可能与7/12以及任何 分数相等 因此，实际上不可能得到完全准确的音阶体系！最好的办法不过是找 出与1og2(3/2)尽可能地接近的分数 问题是：怎样才能用分数逼近无理数？ 考虑方程x2-x-1=0,其两个根为(1±√5)/2，正根1+5的倒数 =-1=1+5-1即所谓“黄金比率”(golden ratio). 课堂问答1：此名称有何根据？ 5

Figure 4: —¶™«L ë,SK1. y²log2 (3/2) ÿ¥knÍßl ÿåUÜ7/12 ±9?¤ ©ÍÉ. œdߢS˛ÿåUO(—NXúÅ–ç{ÿL¥È —Ülog2 (3/2) ¶åU/C©Í. ØK¥µN‚U^©Í%CÃnͺ ƒêßx 2 − x − 1 = 0ߟ¸áäè (1 ± √ 5)/2ßä 1+√ 5 2 Í = √ 5−1 2 = 1+√ 5 2 − 1 =§¢/ë7'«0(golden ratio). ë,Øâ1µd¶°k¤ä‚º 5

21:34=1:1.619 Figure5:黄金比率 (图注：普通大小的向日葵的花盘上的沿顺时针旋转与逆时针旋转的 曲线个数为89条和55条.较小的向日葵则是55条和34条.较大的是144条 和89条.这些数值均为Fibonacci数，其比例约为1：0.618.) 由于x2-x-1=0,从而x2=x+1,故 x=1+1=1 1+足1+ 1 1 + 1 1十+ 所以有黄金比率的连分数(continued fractions)表达式 1+v5 1 2 =1十 1+ 1+*++王 6

Figure 5: ë7'« („5µ œåïFæs˛˜^û^=Ü_û^= ­ÇáÍè89^⁄55^. ïFæK¥55^⁄34^. å¥144^ ⁄89^. ˘ Íä˛èFibonacciÍߟ'~è1 : 0.618.) du x 2 − x − 1 = 0ßl x 2 = x + 1ß x = 1 + 1 x = 1 + 1 1 + 1 x = 1 + 1 1 + 1 1+ 1 1+ 1 x = · · · · · · . §±kë7'«ΩÍ(continued fractions)Là™ 1 + √ 5 2 = 1 + 1 1 + 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 . . . ! 6

Figure6:祖冲之（公元429-500） (图注：祖冲之，世界上第一次将圆周率π计算到小数点后六位， 即3.1415926到3.1415927之间，比欧洲早1100年提出约率22/7和密率355/113. 对照：阿基米德（公元前287年一公元前212年）根据圆内外切正96边形求出圆 周率π介于22/7和223/71.) π无的连分数表示为 4 4 T=3十7十15十1+92+1+1 1+ 12 1+ 12 2+ 32 52 3+ 22 2+ 5+ 2+ 72 42 7+ 2+ 9+ 52 1+ 1+ 2+112 11+62 2+ 1+. 2+. 13+. 7

Figure 6: y¿É(˙429-500) („5µy¿Éß­.˛1ògÚ±«πOéÍ:￾8†ß =3.14159263.1415927Ém, 'Ó³@1100cJ—«22/7⁄ó«355/113. ÈϵCƒí(˙c287c)˙c212c)ä‚S É96>/¶— ±«π0u22/7⁄223/71.) πÃΩÍL´è π = 3+ 1 7 + 1 15+ 1 1+ 1 292+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 2+ 1 1+ . . . = 4 1 + 1 2 2+ 32 2+ 52 2+ 72 2+ 92 2+ 112 2+ . . . = 4 1 + 1 2 3+ 22 5+ 32 7+ 42 9+ 52 11+ 62 13+ . . . 7

e=2+1+2* 二2十1十2计+ 6+ 6+- 8+. 1+. 趣事： 1.2009年3月12日，美国众议院将每年3月14日确定为全国的π日. 麻省理工学院每年都在π日发出新生录取通知书（现在是每年3月14日下 午1时59分26秒在网上发出). 2.π与e均为无理数，因此无限不循环.2005年19日14时52分开始 到11月20日14时56分时，中国西北农林科技大学应用化学专业研究生吕 超用时24小时4分钟，背诵圆周率小数点后67890位，刷新了由日本人创造 的无差错背诵小数点后42195位的背诵圆周率吉尼斯世界纪录 3.课题问答：(1)π的小数点后会不会有0123456789连续出现？ 答案：是的，出现在第1767网5位开始的十个数字 (2)π的小数点后会不会有连续十个7出现？（英国著名数学家Roger Penrose说人类几乎不可能知道这件事：此人与著名的霍金合作证明了宇宙 有黑洞) 客案：是的，出风在第22s6046249位开始的十个数守 习题5.(1)试求√2的连分数表示. (2)根据π的连分数表示找出π的前5个最佳分数近似，解释其中分 数号（约率）、（密率）与阿基米德(Achimedes人、祖冲之的方法之间的关 联 8

e = 2 + 1 1 + 1 2+ 1 1+ 1 1+ 1 4+ 1 1+ 1 1+ 1 6+ 1 1+ . . . = 2 + 1 1 + 2 2+ 3 3+ 4 4+ 5 6+ 7 7+ 8 8+ . . . ص 1. 2009c312Fß{IØÆÚzc314F(½èIπF. ÊénÛÆzc—3πFu—#)¹œ÷(y3¥zc314Fe Ã1û59©26¶3˛u—). 2. πÜe˛èÃnÍßœdÃÅÿÃÇ. 2005c19F14û52©m© 1120F14û56©ûß•I‹‡âEåÆA^zÆ;íÔƒ)½ á^û24û4©®ß {±«Í:￾67890†ßM# dF<ME ÃÜ{Í:￾42195†{±«3Zd­.V¹. 3. ëKØâµ(1) πÍ:￾¨ÿ¨k0123456789ÎY—y? âYµ¥ß—y311738794880†m©õáÍi. (2) πÍ:￾¨ÿ¨kÎYõá7—y? (=IÕ¶ÍÆ[Roger Penrose`<aAÿåU˘áصd<ÜÕ¶ø7‹äy² ⪠kÁ….) âYµ¥ß—y3122869046249†m©õáÍi. SK5. (1) £¶ √ 2ΩÍL´. (2) ä‚ π ΩÍL´È—π c5áÅZ©ÍCqß)ºŸ•© Í 22 7 («)! 355 113 (ó«)ÜCƒí(Achimedes)!y¿Éê{Ém' È. 8

1og2(3/2)的连分数表示如下（规律性不是特别强）： 1og2(3/2)= 1十1*2+ 2+ 23+ 2+· 由此可知其最佳的分数近似为 1372431179389 12512453306665 所有的分母均可以用来做“平均律”，因此可以有“5平均律”， “12平均律”，“41平均律”，“53平均律等等”.历史上得到深入研究的 除了“十二平均律”外，至少还有“31平均律”和“53平均律” 如果用分母来等分一个八度(octave),则分子恰好是一个（近似）纯五度 所需的音符数量.所以“十二平均律”中的纯五度需要7个音符（即7个半 音) 我国古乐调中共有五音(“五音不全”即出于此)，分别为： 宫、商、角（拼音为jue,阳平）、徵（拼音为zhi,上声）、羽 大体对应Pythagoras音阶中的C、D、E、G、A或简谱1、2、3、5、6. 9

log2 (3/2)ΩÍL´Xe(5Æ5ÿ¥AOr)µ log2 (3/2) = 1 1 + 1 1+ 1 2+ 1 2+ 1 3+ 1 1+ 1 5+ 1 2+ 1 23+ 1 2+ . . . ddåŸÅZ©ÍCqè 1, 1 2 , 3 5 , 7 12 , 24 41 , 31 53 , 179 306 , 389 665 , ... §k©1˛å±^5â/²˛Æ0ßœdå±k/5²˛Æ0ß /12²˛Æ0ß/41²˛Æ0ß/53²˛Æ0. {§˛\Ôƒ ÿ /õ²˛Æ0 ßñÑk/31²˛Æ0⁄/53²˛Æ0. XJ^©15©òál›(octave)ßK©fT–¥òá(Cq)X › §I—ŒÍ˛. §±/õ²˛Æ0•X ›Iá7á—Œ (=7áå —). ·IWN•
k —(/ —ÿ0=—ud)ß©Oèµ ˚!˚!(©—èjueß²)!Ê(©—èzhi߲()!ã åNÈAPythagoras—•C!D!E!G!A½{Ã1!2!3!5!6. 9

歌曲《龙文》中将宫、商、角、徵、羽谱为 |35312-1 似可改为更具启发性的(？？？) |12356-1 《史记》（三分损益法或三分损益律）： 九九八十一以为宫。三分去一，五十四以为徵。三分益一，七十二以 为商。三分去一，四十八以为羽。三分益一，六十四以为角。 但至迟不晚于公元前5世纪，我国已有十二律的概念，即 黄钟一大吕一太簇一夹钟一姑洗（拼音xian,上声）一仲吕一蕤（拼 音u,阳平)宾一林钟一夷则一南吕一无射（拼音yi,去声）一应钟。 10

y­59©6•Ú˚!˚!!Ê!ãÃè | 3 5 3 1 2 − | qåUèç‰Èu5(ººº) | 1 2 3 5 6 − | 5§P6(n©õÃ{½n©õÃÆ)µ lõò±è˚"n©òß õo±èÊ"n©Ãòß‘õ± è˚"n©òßoõl±èã"n©Ãòß8õo±è" ñ¥ÿu˙c5­Vß·IÆkõÆVgß= 뮮彮q®Y®®W(©—xian߲()®Æ½®m(© —ruiß²)U®®®°K®H½®Ã(©—yiß()®A®" 10