课程网站 http://math.sjtu.edu.cn/course/skymath/ 第二讲智者的沉思：从勾股定理到费马猜想 算术基本定理可以看成是一个关于正整数的乘法性质的结论.自然数还 有一个基本运算，即加法。 课题问答：什么是加法？更进一步，什么是减法？什么是乘法、除 法？… 关于自然数加法性质的结论往往与乘法混合在一起，其中最著名最古 老的是 勾股定理直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.如果 以a,b,c记直角三角形的两个直角边与斜边的长，则有a2+2=c2. 注1.勾股定理还称为商高定理（内容是“勾三股四弦五”这一特 例)，我国最早记载于《周髀算经》（约前一世纪）：陈子（约前7世纪） 测日法“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并开方而 除之，得邪至日者”.西方称勾股定理为毕达哥拉斯(Pythagoras)定理， 百牛定理，或驴桥定理(Asses'Bridge,等腰三角形两底角相等)，约前570- 前495.现有记载中最早发现相同结果的是古巴比伦，大约前2000-前1700年 1
➅➜✤Õ http://math.sjtu.edu.cn/course/skymath/ ✶✓ù ➐ö✛➐❣➭❧✄✘➼♥✔↕êß➂ ➂â➘✢➼♥➀➧✇↕➫➌❻✬✉✔✒ê✛➛④✺➓✛✭Ø. ❣✱ê❸ ❦➌❻➘✢✩➂➜❂❭④✧ ➅❑➥❽➭➓♦➫❭④➸➁❄➌Ú➜➓♦➫⑦④➸➓♦➫➛④✦Ø ④➸..... ✬✉❣✱ê❭④✺➓✛✭Ø✥✥❺➛④➲Ü✸➌å➜Ù➙⑩❮➯⑩✔ P✛➫ ✄✘➼♥ ❺✍♥✍✴✛ü❺✍❃✛➨➄Ú✤✉✒❃✛➨➄. ❳❏ ➧a, b, cP❺✍♥✍✴✛ü❻❺✍❃❺✒❃✛⑧➜❑❦a 2 + b 2 = c 2 . ✺1. ✄✘➼♥❸→➃û♣➼♥↔❙◆➫✴✄♥✘♦✉✃✵ù➌❆ ⑦↕➜➲■⑩❅P✶✉✺➧✕➂➨✻(✕❝➌➢❱)➭ ➑❢↔✕❝7➢❱↕ ÿ❋④✴❡➛✑➊❋ö➜➧❋❡➃✄➜❋♣➃✘➜✄✘❼❣➛➜➾♠➄✌ Ø❷➜✚✑➊❋ö✵. Ü➄→✄✘➼♥➃✳❼①✳❞(Pythagoras)➼♥➜ ③Ú➼♥➜➼➻①➼♥(Asses’ Bridge➜✤✛♥✍✴ü✳✍❷✤)➜✕❝570- ❝495. ②❦P✶➙⑩❅✉②❷Ó✭❏✛➫✔♥✬Ô➜➀✕❝2000-❝1700❝. 1
b a a b Figure1:总统的证明 注2.勾股定理是世界上被证明次数最多的定理（没有之一），证明 者包括美国第二十任总统伽菲尔德(James A.Garfield,1876年的证明如 图1). 2
Figure 1: ♦Ú✛②➨ ✺2. ✄✘➼♥➫➢✳þ✚②➨❣ê⑩õ✛➼♥↔✈❦❷➌↕➜②➨ ö➑✮④■✶✓➏❄♦Ú➩➍✏✙↔James A. Garfield➜1876❝✛②➨❳ ã1↕. 2
B 勾a 弦d C 股 A D Figure2:赵爽弦图 我国古代数学家赵爽（三国时期吴国人，约公元3世纪）利用弦图的证明 (如图2)被认为是最简洁的. 此图被用作中国数学会的会标利和2002年在北京举行的第22届国际数 学家大会的会标（在该届大会上，中国人-田刚-有史以来第一次被邀请做 了1小时大会报告，我们将在庞加莱猜想一章中介绍田刚) 3
Figure 2: ë❲✉ã ➲■✔➇ê➷❬ë❲(♥■➒Ï➬■❁➜✕ú✄3➢❱)⑤❫✉ã✛②➨ ↔❳ã2↕✚❅➃➫⑩④✬✛. ❞ã✚❫❾➙■ê➷➡✛➡■Ú2002❝✸✏➤Þ✶✛✶22✸■❙ê ➷❬➀➡✛➡■(✸❚✸➀➡þ➜➙■❁–❳❢–❦↕➧✺ ✶➌❣✚✚➒❽ ✡1✂➒➀➡✞✇➜➲❶ò✸✡❭✹ß➂➌Ù➙✵☛❳❢). 3
注2.高维推)广与欧氏距离 由勾股定理可知，平面(R2)上两点x=(x1,x2),y=(1,2)的距离为 d(x,)=V(x1-1)2+(x2-y2)2 所以单位圆（周）的方程是x子+x号=1（通常将平面上点的坐标记 为(x,y),因此单位圆的方程写为x2+y2=1) 空间(R3)中两点x=(c1,x2,x3),y=(y1,2,3)的距离为 d(x,）=V(x1-h)2+(c2-2)2+(x3-g)2 上面的公式可以看成是3维空间中的勾股定理，比如由此公式可知，3 维空间中的单位球（面）的方程是x子+x号+x=1(通常将空间中点的坐标 记为(x,,),因此单位球的方程写为x2+y2+2=1) 般地，勾股定理可以推到n维（实）空间R”，任意两点x=(x1,x2,·,x),y= (1,2,·,n)的距离为 d(x,y）=V(c1-h)2+(x2-2)2+·+(xn-yn)2 所以n维空间R”中的单位球（面）的方程是x子+x子+·+x品=1. 习题2：勾股定理反映了直角三角形三条边长之间的关系，试研究面积 的勾股定理 4
✺2. ♣➅í✷❺î➻å❧ ❞✄✘➼♥➀⑧➜➨→(R 2 )þü✿ x = (x1, x2), y = (y1, y2)✛å❧➃ d(x, y) = p (x1 − y1) 2 + (x2 − y2) 2. ↕➧ü➔☛(➧)✛➄➜➫ x 2 1 + x 2 2 = 1 (Ï⑦ò➨→þ✿✛❿■P ➃(x, y)➜Ï❞ü➔☛✛➄➜✕➃ x 2 + y 2 = 1). ➌♠(R 3 )➙ü✿x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3)✛å❧➃ d(x, y) = p (x1 − y1) 2 + (x2 − y2) 2 + (x3 − y3) 2. þ→✛ú➟➀➧✇↕➫3-➅➌♠➙✛✄✘➼♥➜✬❳❞❞ú➟➀⑧➜3- ➅➌♠➙✛ü➔➙(→)✛➄➜➫ x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 1 (Ï⑦ò➌♠➙✿✛❿■ P➃(x, y, z)➜Ï❞ü➔➙✛➄➜✕➃x 2 + y 2 + z 2 = 1). ➌❸✴➜✄✘➼♥➀➧í✷✔n ➅(➣)➌♠R n➜❄➾ü✿x = (x1, x2, · · · , xn), y = (y1, y2, · · · , yn)✛å❧➃ d(x, y) = p (x1 − y1) 2 + (x2 − y2) 2 + · · · + (xn − yn) 2. ↕➧ n ➅➌♠R n➙✛ü➔➙(→)✛➄➜➫ x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n = 1. ❙❑2➭✄✘➼♥❻◆✡❺✍♥✍✴♥❫❃⑧❷♠✛✬❳➜➪ï➘→➮ ✛✄✘➼♥. 4
注3.如果正整数a,b,c满足条件a2+b2=c2，则称(a,b,c)为一个毕达 哥拉斯理元组(Pythagorean triple).比如，(3,4,5)，(5,12,13)是毕达哥 拉斯理元组.如果一个毕达哥拉斯理元组中的整数α，b,c两两互素，则称其 为本原的(primitive).比如，(3,4,5)，(5,12,13)均是本原毕达哥拉斯理元 组，但(6,8,10)不是本原毕达哥拉斯理元组. 随堂练习1：求你能写出的最大的本原毕达哥拉斯理元组. 当然存在无限多个本原毕达哥拉斯理元组，为什么？ 思考题：单位圆周x2+y2=1上有多少个有理点（即两个坐标都为有理 数的点)？ 思考题：圆周x2+y=3上有多少个有理点？请比较上面的思考题 5
✺3. ❳❏✔✒êa, b, c÷✈❫❻a 2 + b 2 = c 2 ➜❑→(a, b, c)➃➌❻✳❼ ①✳❞♥✄⑤(Pythagorean triple). ✬❳➜(3, 4, 5)➜(5, 12, 13) ➫✳❼① ✳❞♥✄⑤. ❳❏➌❻✳❼①✳❞♥✄⑤➙✛✒ê a, b, cüü♣❷➜❑→Ù ➃✢✝✛(primitive). ✬❳➜(3, 4, 5)➜(5, 12, 13) þ➫✢✝✳❼①✳❞♥✄ ⑤➜✂(6, 8, 10) Ø➫✢✝ ✳❼①✳❞♥✄⑤. ➅✱ö❙1➭ ➛❭❯✕Ñ✛⑩➀✛✢✝✳❼①✳❞♥✄⑤. ✟✱⑧✸➹⑩õ❻✢✝✳❼①✳❞♥✄⑤➜➃➓♦? ❣⑧❑➭ü➔☛➧x 2 + y 2 = 1 þ❦õ✟❻❦♥✿(❂ü❻❿■Ñ➃❦♥ ê✛✿)➸ ❣⑧❑➭☛➧ x 2 + y 2 = 3þ❦õ✟❻❦♥✿➸➒✬✖þ→✛❣⑧❑. 5
Figure 3:P.de Fermat 勾股定理可以有多种推广和拓展，其中最著名的少属 )马大定理(1637)xn+y=z”(n≥3)无正整数解. )马大定理是本课程的第一个主题.关弦)马大定理有数不清的动人 传说.其中)马本人在第一时间写下了他的传世名言：“我确信已找到了 一个绝妙的证明，但书的空白太窄，写不下”。这句话如此动人，以至弦 再次出现在)马身后三百年的纽约地铁站：“我确信己找到了)马大定理 一个绝妙的证明，可惜的是，我没时间写下这个证明，因为地铁正向我开 注。” 哥廷根大学数学系主任朗道(Edmund Landau)印制了一批专门的卡 6
Figure 3: P.de Fermat ✄✘➼♥➀➧❦õ➠í✷ÚÿÐ➜Ù➙⑩❮➯✛✟á ↕ê➀➼♥(1637) x n + y n = z n (n ≥ 3)➹✔✒ê✮. ↕ê➀➼♥➫✢➅➜✛✶➌❻❒❑. ✬✉↕ê➀➼♥❦êØ➌✛➘❁ ❉❵. Ù➙↕ê✢❁✸✶➌➒♠✕❡✡➛✛❉➢➯ó➭✴➲✭✫➤é✔✡ ➌❻ý➞✛②➨➜✂Ö✛➌①✔➘➜✕Ø❡✵✧ùé④❳❞➘❁➜ ➧➊✉ ✷❣Ñ②✸↕ê✜♥③❝✛Ý✕✴❝Õ➭✴➲✭✫➤é✔✡↕ê➀➼♥ ➌❻ý➞✛②➨➜➀❏✛➫➜ ➲✈➒♠✕❡ù❻②➨➜Ï➃✴❝✔➉➲♠ ✺✧✵ ①➱❾➀➷ê➷❳❒❄❑✗↔Edmund Landau↕❁➏✡➌✶❀⑨✛❦ 6
片以对付各种史马大定理的证明：“敬爱的，谢谢你寄来的关于史马 大定理的证明，该证明的第一处错误出现在第页第行，这使得证 明无效”。 希尔伯特：为什么要杀死一只下金蛋的母“呢？ Wolfskehl奖：Paul Wolfskehl(1856-1906),大学读过数学，是一个富 有的工业家，痴狂的迷恋一个漂亮的女孩子，但被无数次被拒绝，随决 定在某日午夜钟声响起的时候，告别这个世界。Volfskehl在剩下的日子里 依然努力工作，当然不是数学，而是一些商业的东西，最后一天，他写 了遗嘱，并且给他所有的朋友亲戚写了信。由于效率较高，午夜前他就搞 定了所有的问情，剩下的几个小时，他跑到了图书馆，随便翻起了数学 书。很快，被Kummer解释Cauchy等前人做Fermat大定理为什么不行的一 什论文吸引住了。那是一什伟大的论文，我合要自杀的数学家最后的时刻 阅读。Wolfskehl竞然发现了Kummer的一个bug,黎明时分，他做出了这 个证明。他顿时觉得自己无比高大，于是往马皆成广云…这样他重立遗 嘱，将财产的大部分设为一个奖，奖给第一个证明Fermat大定理的人10万 马克·…这就是Volfskehl奖的来历。1997年，A.Wiles(1953-)得到此奖。 7
→➧é●❼➠↕ê➀➼♥✛②➨➭ ✴➵❖✛ ➜✜✜❭▼✺✛✬✉↕ê ➀➼♥✛②➨➜❚②➨✛✶➌❄❺ØÑ②✸ ✶ ➄✶ ✶➜ù➛✚② ➨➹✟✵✧ ❋✏❐❆➭➃➓♦❻à❦➌➄❡✼✞✛✶✴◗➸ Wolfskehlø: Paul Wolfskehl↔1856-1906↕,➀➷Ö▲ê➷➜➫➌❻▲ ❦✛ó➆❬➜➦➫✛➃ô➌❻↕✛å➥❢➜✂✚➹ê❣✚áý➜ ➅û ➼✸✱❋❒➊➝✭➃å✛➒ÿ➜✇❖ù❻➢✳✧Wolfskehl✸➄❡✛❋❢♣ ➑✱ãåó❾➜✟✱Ø➫ê➷➜ ✌➫➌✡û➆✛➚Ü➜⑩➌❯➜➛✕ ✡➣❐➜➾❹❽➛↕❦✛✯❧❾Ò✕✡✫✧❞✉✟➬✖♣➜❒➊❝➛Òt ➼✡↕❦✛➥➐➜ ➄❡✛❆❻✂➒➜➛✓✔✡ãÖ✱➜➅❇⑨å✡ê➷ Ö✧é➥➜✚Kummer✮➸Cauchy✤❝❁❽Fermat➀➼♥➃➓♦Ø✶✛ ➌ ➓Ø➞áÚ✹✡✧❅➫➌➓➉➀✛Ø➞➜➲Ü❻❣à✛ê➷❬⑩✛➒➃ ✢Ö✧Wolfskehl➽✱✉②✡Kummer✛➌❻bug➜✐➨➒➞➜ ➛❽Ñ✡ù ❻②➨✧➛î➒ú✚❣❈➹✬♣➀➜✉➫✥ê✛↕✷✤✱✱ù✘➛➢á➣ ❐➜òã✗✛➀Ü➞✗ ➃➌❻ø➜ø❽✶➌❻②➨Fermat➀➼♥✛❁10✙ ê➂✱ ✱ùÒ➫Wolfskehlø✛✺④✧1997❝➜A.Wiles(1953-)✚✔❞ø✧ 7
Figure 4:A.Wiles 注4.怀尔斯10岁时开始思考费马大定理，他想这个问题理解起来没有 任何困难，其证明也应该不是非常困难。为什么数百年来人类都不能解 决它呢？呵呵，一定是他们太笨了。他决心成为第一个证明费马大定理的 人。于是，怀尔斯开始泡图书馆。两年之后，费马大定理的资料还未收集 完全，收集到的没有一篇能看懂 怀尔斯本科毕业于牛津，博士毕业于剑桥，任教于美国普林斯顿 (1981-1988,1990-2011)与牛津(1988-1990,2011-)。怀尔斯于1986年重 新开始秘密研究费马大定理(20年前的梦)，1993年宣布其证明，1994年与其 前学生R.Taylori改正自己的证明，1995年两篇文章同时发表在世界顶级数 学杂志Annals of Mathematics.第9999号小行星以Wiles命名(1999年)。2000年 受封为骑士爵位(Knight Commander of the Order of the British Empire)。 8
Figure 4: A.Wiles ✺4. ⑦✏❞10➉➒♠➞❣⑧↕ê➀➼♥➜➛➂ù❻➥❑♥✮å✺✈❦ ❄Û✭❏➜Ù②➨➃❆❚Ø➫➎⑦✭❏✧ ➃➓♦ê③❝✺❁❛ÑØ❯✮ û➜◗➸ÔÔ➜➌➼➫➛❶✔✣✡✧➛û✪↕➃✶➌❻②➨↕ê➀➼♥✛ ❁✧✉➫➜ ⑦✏❞♠➞✔ãÖ✱✧ü❝❷➜↕ê➀➼♥✛❪✍❸➍➶✽ ✑✜➜➶✽✔✛✈❦➌➓❯✇➹..... ⑦✏❞✢❽✳➆✉Ú✾➜➷➡✳➆✉ê①➜❄✓✉④■✃✕❞î ↔1981-1988➜1990-2011↕❺Ú✾↔1988-1990,2011-↕✧ ⑦✏❞✉1986❝➢ ★♠➞➇➋ï➘↕ê➀➼♥(20❝❝✛❽)➜1993❝❭ÙÙ②➨➜1994❝❺Ù ❝➷✮R.Taylor❯✔❣❈✛②➨➜ 1995❝ü➓➞ÙÓ➒✉▲✸➢✳➸❄ê ➷✱➇Annals of Mathematics. ✶9999Ò✂✶✭➧Wiles➲➯(1999❝)✧2000❝ ➱➭➃ä➡ù➔(Knight Commander of the Order of the British Empire)✧ 8
勾股定理的其它拓展 显然，不是百个正整数都可以表示为两个整数的明方牛（请举 例！)：因此可以问：哪庞数可以表示为两个正整数的明方牛？ 费马明方牛定理奇素数能表示为两个明方数之牛的充分必要条件是该 素数被4除余1. 第一个证明包含在欧拉1747年给哥德巴赫(C.Goldbach,1690-1764)的 信中，其中的第一步非常简单，即： 随堂练习2：系难两个整数都能表示为两个明方数之牛，则，们的积也 能表示为两个明方数之牛。 小组讨论题一：证明费马明方牛定理 9
✄✘➼♥✛Ù➜ÿÐ ✇✱➜Ø➫③❻✔✒êÑ➀➧▲➠➃ü❻✒ê✛➨➄Ú↔➒Þ ⑦➐↕➯Ï❞➀➧➥➭❂✡ê➀➧▲➠➃ü❻✔✒ê✛➨➄Ú➸ ↕ê➨➄Ú➼♥ Û❷ê❯▲➠➃ü❻➨➄ê❷Ú✛➾➞✼❻❫❻➫❚ ❷ê✚4Ø④1. ✶➌❻②➨➑➵✸î✳1747❝❽①✙♥â(C.Goldbach➜1690-1764)✛ ✫➙➜Ù➙✛✶➌Ú➎⑦④ü➜❂➭ ➅✱ö❙2➭❳❏ü❻✒êÑ❯▲➠➃ü❻➨➄ê❷Ú➜❑➜❶✛➮➃ ❯▲➠➃ü❻➨➄ê❷Ú✧ ✂⑤❄Ø❑➌➭②➨↕ê➨➄Ú➼♥. 9
哥德理赫猜想(1742)任何大于等于4的偶数都可以表示成两个素数之 和.或简称1+1=2. 注5.哥德理赫猜想最早出现在1742年哥德理赫给欧拉的信中：任一大 于2的整数都可写成三个质数之和.当时1被认为是素数.现在的版本是欧拉 改写的.哥德理赫猜想又称为强哥德理赫猜想 弱哥德理赫猜想(1742)任何大于7的奇数都可以表示成三个素数之和. 注6.强哥德理赫猜想蕴涵弱哥德理赫猜想（为什么？）·英国数 学家哈代(Hardy)与利特伍德(Littlewood)1923年证明：如果黎曼猜想成 立，则弱哥德理赫猜想对充分大的奇数成立.1937年，苏联数学家维诺 格拉朵夫(Vinogradov)去掉了“黎曼猜想成立”这个条件.充分大的数是 多大？1939年，维诺格拉朵夫的学生Borozdin:314348907(该数超过6百八 十万位！)：2002年，香港大学Liu Ming-Chit(廖明哲)与河南大学王天 泽：>e3100≈2×101346.这些数都远远超过现在计算机的计算能力.所以 弱哥德理赫猜想被认为“基本解决”.目前计算机对哥德理赫猜想的验证到 了1018量级. 10
①✙♥âß➂(1742) ❄Û➀✉✤✉4✛óêÑ➀➧▲➠↕ü❻❷ê❷ Ú. ➼④→1 + 1 = 2 . ✺5. ①✙♥âß➂⑩❅Ñ②✸1742❝①✙♥â❽î✳✛✫➙➭❄➌➀ ✉2✛✒êÑ➀✕↕♥❻➓ê❷Ú.✟➒1✚❅➃➫❷ê. ②✸✛❻✢➫î✳ ❯✕✛. ①✙♥âß➂q→➃r①✙♥âß➂. ❢①✙♥âß➂(1742) ❄Û➀✉7✛ÛêÑ➀➧▲➠↕♥❻❷ê❷Ú. ✺6. r①✙♥âß➂✪➸❢①✙♥âß➂↔➃➓♦➸↕. ❂■ê ➷❬ ▼➇(Hardy)❺⑤❆❰✙(Littlewood)1923❝②➨➭❳❏✐ùß➂↕ á➜❑❢①✙♥âß➂é➾➞➀✛Ûê↕á. 1937❝➜⑨éê➷❬➅ì ❶✳ù➴(Vinogradov)✖❑✡✴✐ùß➂↕á✵ù❻❫❻. ➾➞➀✛ê➫ õ➀➸1939❝➜➅ì❶✳ù➴✛➷✮Borozdin: 314348907 (❚ê❻▲6③❧ ➏✙➔➐)➯2002❝➜❺❧➀➷Liu Ming-Chit↔✌➨ó↕❺à❍➀➷✜❯ ▲➭> e3100 ≈ 2 × 101346 . ù✡êÑ✎✎❻▲②✸❖➂➴✛❖➂❯å. ↕➧ ❢①✙♥âß➂✚❅➃✴➘✢✮û✵. ✽❝❖➂➴é①✙♥âß➂✛✟②✔ ✡1018 þ❄. 10