Figure1:欧几里德 课程网站 http://math.sjtu.edu.cn/course/skymath/ 第一讲数学的原子：素数 数学的起点是自然数，自然数的基础是素数 算术基本定理：任何大于1的自然数都可以唯一地（不计次序）表示为一 些素数的乘积 算术基本定理表明，如果仅考虑乘法，素数是最小的“原子”，因为 它们不能再被分解成更小的数的乘积.因此，理解素数便是数学的最基本的 1
Figure 1: î❆♣✙ ➅➜✤Õ http://math.sjtu.edu.cn/course/skymath/ ✶➌ù ê➷✛✝❢➭❷ê ê➷✛å✿➫❣✱ê➜❣✱ê✛➘✿➫❷ê✧ ➂â➘✢➼♥➭❄Û➀✉ 1 ✛❣✱êÑ➀➧➁➌✴(Ø❖❣❙)▲➠➃➌ ✡❷ê✛➛➮. ➂â➘✢➼♥▲➨➜❳❏❂⑧➘➛④➜❷ê➫⑩✂✛✴✝❢✵➜Ï➃ ➜❶Ø❯✷✚➞✮↕➁✂✛ê✛➛➮. Ï❞➜♥✮❷ê❇➫ê➷✛⑩➘✢✛ 1
问题.素数有多少个？是否存在一个有效的表达素数的公式？ “数学家们试图在素数序列中找到某种规律，但迄今一无所获，”欧 拉写到，“我们有理由相信，这是人类永远无法看穿的秘密” 2
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DE GLI ELEMENTI DEVCLI DE LIBRI QVINDICI C0元Gt15en0L11MT1c TRADOTTI PRIMA C CO ETH0EAD0发DN春D老L'HT么IE● 74F144#6A7F4e,e w.Z hi medui. C O N P R I V I L E G I O 1梦元31X0。dPPR350 数e期岁《5是卡年●是型9： 。表军求 Figure2:几何原本 2300年前 欧几里德定理素数无限 天书给出了6个证明，其中前2个和第6个可以讲给高中生听，第三个可以讲给 大一学生听（使用最简单的定积分。请注意，这是本门课第一个学分练习），其 余两个需要多一点数学知识（群论和拓扑）。此处展示前两个和最后一个。 3
Figure 2: ❆Û✝✢ 2300❝❝ î❆♣✙➼♥ ❷ê➹⑩✧ ❯Ö❽Ñ✡6❻②➨➜Ù➙❝2❻Ú✶6❻➀➧ù❽♣➙✮❢➜✶♥❻➀➧ù❽ ➀➌➷✮❢↔➛❫⑩④ü✛➼➮➞✧ ➒✺➾➜ù➫✢⑨➅✶➌❻➷➞ö❙↕➜Ù ④ü❻■❻õ➌✿ê➷⑧↔↔✰ØÚÿ➚↕✧ ❞❄Ð➠❝ü❻Ú⑩➌❻✧ 3
证明1（欧几里德）设{P1,p2,·,Pn}是任意有限个素数的集合，则数 p1P2…pn+1 必不能被任何p,1≤i≤n整除！OK! 4
②➨1↔î❆♣✙↕ ✗{p1, p2, · · · , pn}➫❄➾❦⑩❻❷ê✛✽Ü➜❑ê p1p2 · · · pn + 1 ✼Ø❯✚❄Ûpi , 1 ≤ i ≤ n✒Ø! OK! 4
注1.欧几里德，“几何学之父”。前330-前275，是柏拉图学园的学 生。柏拉图的名言：“不懂几何者，不得入内！”“上帝就是几何学家。” 注2.《几何原本》，发行量仅次于《圣经》。其中的“素数无限”的 证明仍是迄今为止最为精彩简洁的证明；而“第五平行公设”则是文明史 上对人类思维的最大考验（从牛顿到爱因斯坦不足300年，但从欧氏几何到 非欧几何超过2000年！)。 注3.趣事1：当时托勒密国王也想赶这一时髦，学点儿几何学。他问 欧几里得“学习几何学有没有什么捷径可走？”欧几里得说：“在几何学 里，没有专为国王辅设的大道。” 趣事2：有个青年问：你的几何学有何用处。他的回答是：“请给这个 小伙子3个硬币，因为他想从几何学里得到实际利益。” 注4.11岁的时候，我开始学习Euclid的书，并请我的哥哥当我的老 师。这是我生活中的一件大事，犹如初恋般的迷人。一一B.Rss 英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家，无神论或者不可知论 者，也是上世纪西方最著名、影响最大的学者和和平主义社会活动家之 一，1950年诺贝尔文学奖得主（获奖作品《婚烟与道德》）。他与怀特海合 著的《数学原理》对逻辑学、数学、集合论、语言学和分析哲学有着巨大 影响。1950年，罗素获得诺贝尔文学奖，以表彰其“多样且重要的作品， 持续不断的追求人道主义理想和思想自由”。 5
✺1. î❆♣✙➜✴❆Û➷❷■✵✧❝330-❝275➜➫②✳ã➷✠✛➷ ✮✧ ②✳ã✛➯ó➭✴Ø➹❆Ûö➜Ø✚❭❙!✵ ✴þ✷Ò➫❆Û➷❬✧✵ ✺2. ✺❆Û✝✢✻➜✉✶þ❂❣✉✺➆➨✻✧Ù➙✛✴❷ê➹⑩✵✛ ②➨❊➫î✽➃➂⑩➃➦ç④✬✛②➨➯ ✌✴✶✃➨✶ú✗✵❑➫➞➨↕ þé❁❛❣➅✛⑩➀⑧✟↔❧Úî✔❖Ï❞✧Ø✈300❝➜✂❧î➻❆Û✔ ➎î❆Û❻▲2000❝➐↕✧ ✺3. ✕➥1➭✟➒÷❱➋■✜➃➂❵ù➌➒✮➜➷✿✍❆Û➷✧➛➥ î❆♣✚✴➷❙❆Û➷❦✈❦➓♦✩➺➀r➸✵ î❆♣✚❵➭✴✸❆Û➷ ♣,✈❦❀➃■✜➪✗✛➀✗✧✵ ✕➥2➭❦❻➇❝➥➭❭✛❆Û➷❦Û❫❄✧➛✛↔❽➫➭✴➒❽ù❻ ✂➸❢3❻▼✶➜Ï➃➛➂❧❆Û➷♣✚✔➣❙⑤➹✧✵ ✺4. 11➉✛➒ÿ➜➲♠➞➷❙Euclid✛Ö➜➾➒➲✛①①✟➲✛P ➇✧ù➫➲✮➵➙✛➌❻➀➥➜❣❳Ðô❸✛➃❁✧ ✮✮B.Russell ❂■ó➷❬✦ê➷❬✦Ü✻➷❬✦④↕➷❬➜➹✥Ø➼öØ➀⑧Ø ö➜➃➫þ➢❱Ü➄⑩❮➯✦ ❑➃⑩➀✛➷öÚÚ➨❒➶✖➡➵➘❬❷ ➌➜1950❝ì✓✏➞➷ø✚❒(➻ø❾➡✺➫Ó❺✗✙✻)✧ ➛❺⑦❆➦Ü ❮✛✺ê➷✝♥✻éÜ✻➷✦ê➷✦✽ÜØ✦❾ó➷Ú➞Ûó➷❦❳ã➀ ❑➃✧ 1950❝➜Û❷➻✚ì✓✏➞➷ø➜➧▲ÚÙ✴õ✘❹➢❻✛❾➡➜ ➧❨Øä✛❏➛❁✗❒➶♥➂Ú❣➂❣❞✵✧ 5
Figure3:哥德巴赫 证明2(Goldbach,1730)费马数Fn=22”+1,n≥0两两互素！为什 么？因为下式 +1=ΠA+2,n≥0 k=0 归纳简！ 6
Figure 3: ①✙♥â ②➨2(Goldbach➜1730) ↕êêFn = 22 n + 1, n ≥ 0 üü♣❷➐➃➓ ♦➸Ï➃❡➟ Fn+1 = Yn k=0 Fk + 2, ∀n ≥ 0 ✽❇④➐ 6
注0.哥德巴赫，Christian Goldbach,1690.3.18-1764.11.20,法律专业 毕业的德国数学家，彼得二世（彼得大帝的孙子）的老师，曾任沙皇俄国的外 交大臣 注1.费马(Pierre de Fermat,1601-l665)出身于大富大贵人家，大学 未毕业即己买到“律师”和“参议员”资格：官至法国议会首席发言人， 天主教联盟主席等职。费马的著述多由其长子整理发表。 注2.费马的贡献：他的职业是律师和政治家，但无人知道他对法律和 政治的贡献。但作为业余数学家，他对数学的贡献首屈一指。 (1)创立了解析几何（与笛卡尔独立） (2)微积分学的奠基人（仅次于牛顿和莱布尼茨） (3)概率论的奠基人（与帕斯卡一起引入随机变上与数学期望的概 念) (4)初等数论的奠基人(1621年费马开始研究公元三世纪古希腊 数学家丢番图所写的《算术》一书，发现了著名的费马大小定理aP≡ 1(modp):著名的梅森素数M(n)=2n-1即是梅森与费马讨论的结果。) (5)几何光学的奠基人（影响了欧拉、拉格朗日等） 7
✺0. ①✙♥â➜Christian Goldbach➜1690.3.18õ1764.11.20, ④➷❀➆ ✳➆✛✙■ê➷❬➜✯✚✓➢(✯✚➀✷✛➎❢)✛P➇➜◗❄â➉✂■✛✠ ✂➀➋. ✺1. ↕ê↔Pierre de Fermat➜1601-1665↕Ñ✜✉➀▲➀❇❁❬➜➀➷ ➍✳➆❂➤ï✔✴➷➇✵Ú✴ë➷✡✵❪❶➯✭➊④■➷➡➘❘✉ó❁➜ ❯❒✓é❺❒❘✤❹✧↕ê✛❮ãõ❞Ù⑧❢✒♥✉▲✧ ✺2. ↕ê✛③➭➛✛❹➆➫➷➇Ú✕↔❬➜✂➹❁⑧✗➛é④➷Ú ✕↔✛③✧✂❾➃➆④ê➷❬➜➛éê➷✛③➘➥➌➁✧ ↔1↕▼á✡✮Û❆Û↔❺✭❦✏Õá↕ ↔2↕❻➮➞➷✛❈➘❁↔❂❣✉ÚîÚ✹Ù❩❪↕ ↔3↕❱➬Ø✛❈➘❁↔❺ø❞❦➌åÚ❭➅➴❈þ❺ê➷Ï✧✛❱ ❣↕ ↔4↕Ð✤êØ✛❈➘❁↔l621❝↕ê♠➞ï➘ú✄♥➢❱✔❋✶ ê➷❬➾⑧ã↕✕✛✺➂â✻➌Ö➜✉②✡❮➯✛↕ê➀✂➼♥ a p ≡ 1(modp)➯❮➯✛rÜ❷êM(n) = 2n − 1❂➫rÜ❺↕ê❄Ø✛✭❏✧↕ ↔5↕❆Û✶➷✛❈➘❁↔❑➃✡î✳✦✳❶❑❋✤↕ 7
Copuererg Figure4:爱多士 证明3（爱多士Paul Erd6s)符号π(N)表示不超过正整数N的素数的个 数.（重要，请切记！)首先，任何正整数n均可表为n=rs2,其中r与s均 为正整数且r无平方素因子（这种r称为平方自由整数）. N与π(N)有什么关系呢？为此，设N=rs2.问题：s有多大？显 然，s≤√下.问题：r有多大？由于r≤N是平方自由的，故只需估计有多 少不超过N的平方自由的正整数？每个这样的正整数都是不超过N的不同素 数的乘积，而这样的素数共有π(N)个，因此不超过N的平方自由正整数不 超过2π(W)个（回忆：m元集合的所有子集的个数是2m) 因此这样的正整数N不超过2(W)VN个，特别地 2W)vN≥N. 故 log N π(N)21og4 8
Figure 4: ❖õ➡ ②➨3↔❖õ➡Paul Erd¨os↕ ❰Òπ(N)▲➠Ø❻▲✔✒êN✛❷ê✛❻ ê. ↔➢❻➜➒❷P➐↕ ➘❦➜❄Û✔✒ênþ➀▲➃n = rs2 , Ù➙r❺sþ ➃✔✒ê❹r➹➨➄❷Ï❢(ù➠r→➃➨➄❣❞✒ê). N❺π(N)❦➓♦✬❳◗➸➃❞➜✗N = rs2 . ➥❑➭s❦õ➀➸✇ ✱➜s ≤ √ N. ➥❑➭r❦õ➀➸❞✉r ≤ N➫➨➄❣❞✛➜✙➄■✎❖❦õ ✟Ø❻▲N✛➨➄❣❞✛✔✒ê➸③❻ù✘✛✔✒êÑ➫Ø❻▲N✛ØÓ❷ ê✛➛➮➜ ✌ù✘✛❷ê✁❦π(N)❻➜Ï❞Ø❻▲N✛➨➄❣❞✔✒êØ ❻▲2 π(N)❻(↔➪➭m✄✽Ü✛↕❦❢✽✛❻ê➫2 m). Ï❞ù✘✛✔✒êN Ø❻▲2 π(N) √ N ❻➜❆❖✴ 2 π(N) √ N ≥ N. ✙ π(N) ≥ log N log 4 . 8
注1.爱多士(1913-1996，匈牙利，犹太人)，1983年与陈止身同获Wolf奖 （分享10万美元，捐49280史。他曾两次去印度讲学，所得的报酬都捐给 了一位素味平生的印度妇女-Ramanujan的遗孀。80年代末，Erdos得知 一位叫Glen Whitney的高中生算到Harvard:去学数学，但还差一点儿学 费。Eros便与他此人见了面。当他深信这名学生确有天资时，就借给了 他1000美元，并告诉对方只有在不造成经济困难的情况下才还钱。10年 后Whitney有能力偿还这笔钱了，便问Graham:”Erdos要不要利息呢？ ”Graham向Erdos询问，Erdos回答：”告诉他，拿那1000美元去做我当年所 做的事。” 注2.爱多士共发表论文>1000篇：年均写信1500封 注3。名言：“要休息的话，坟墓里有的是休息时间。” Children were referred to as "epsilons e"; Women were"bosses'”; Men were"slaves”; People who stopped doing math had"died"; People who physically died had "left"; Alcoholic drinks were "poison"; Music was”noise”; People who had married were"captured"; People who had divorced were "liberated"; To give a mathematical lecture was "to preach"and To give an oral exam to a student was"to torture"him/her. 注4.爱多士数(Erdos number). 注5.故事：Erdos以发掘数学天才为己任。1959年，他听说有一个12岁 的匈牙利小男孩LajosP数sa已经掌握了全部中学数学课程，便邀请他共进 午餐。吃饭的时候，P数sa正喝着汤，Erdos便问了他这样一个问题：”试 证：在1,2，，2如中任取n+1个数，必有两个数互素。”P数sa先把汤喝完， 然后给出了这个问题的证明。Erdos大为震惊，因为他当初花了10分钟才 找到这个问题的证明方法，而这个小男孩只用了半分钟！后来Edos经常 与P数sa见面，P数sal3岁时，Erdos便给他讲Ramsey原理，并提了一个包 9
✺1. ❖õ➡(1913-1996➜✿ß⑤➜❣✔❁)➜1983❝❺➑➂✜Ó➻Wolfø ↔➞➄10✙④✄➜í49280↕✧ ➛◗ü❣✖❁Ýù➷➜↕✚✛✞➴Ñí❽ ✡➌➔❷⑤➨✮✛❁Ý❖å–Ramanujan✛➣➀✧ 80❝➇✧➜Erdos✚⑧ ➌➔✗Glen Whitney✛♣➙✮➂✔Harvard✖➷ê➷➜✂❸☛➌✿✍➷ ↕✧Erdos❇❺➛❞❁❸✡→✧✟➛✢✫ù➯➷✮✭❦❯❪➒➜ Ò✴❽✡ ➛1000④✄➜➾✇❾é➄➄❦✸Ø❊↕➨▲✭❏✛➐➵❡â❸❛✧10❝ Whitney❦❯å⑨❸ù✮❛✡➜ ❇➥Graham➭”Erdos❻Ø❻⑤❊◗➸ ”Graham➉Erdos❰➥➜Erdos↔❽➭”✇❾➛➜❁❅1000④✄✖❽➲✟❝↕ ❽✛➥✧” ✺2. ❖õ➡✁✉▲Ø➞> 1000➓➯❝þ✕✫1500➭ ✺3. ➯ó➭✴❻❃❊✛④➜➠✷♣❦✛➫❃❊➒♠✧✵ Children were referred to as ”epsilons ε”; Women were ”bosses”; Men were ”slaves”; People who stopped doing math had ”died”; People who physically died had ”left”; Alcoholic drinks were ”poison”; Music was ”noise”; People who had married were ”captured”; People who had divorced were ”liberated”; To give a mathematical lecture was ”to preach” and To give an oral exam to a student was ”to torture” him/her. ✺4. ❖õ➡ê(Erdos number). ✺5. ✙➥➭Erdos➧✉÷ê➷❯â➃❈❄✧1959❝➜➛❢❵❦➌❻12➉ ✛✿ß⑤✂■➥LajosPêsa➤➨Ý➸✡✜Ü➙➷ê➷➅➜➜ ❇✚➒➛✁❄ ❒ê✧➥➀✛➒ÿ➜Pêsa✔Õ❳✮➜Erdos❇➥✡➛ù✘➌❻➥❑➭ ”➪ ②➭✸1,2,...,2n➙❄✒n+1❻ê➜✼❦ü❻ê♣❷✧” Pêsa❦r✮Õ✑➜ ✱❽Ñ✡ù❻➥❑✛②➨✧Erdos➀➃✞➥➜Ï➃➛✟Ðs✡10➞➝â é✔ù❻➥❑✛②➨➄④➜ ✌ù❻✂■➥➄❫✡➀➞➝➐ ✺Erdos➨⑦ ❺Pêsa❸→➜Pêsa 13➉➒➜Erdos❇❽➛ùRamsey✝♥➜➾❏✡➌❻➑ 9
含无穷个点和无穷条边的问题。P0sa花了15分钟时间才弄清楚题丢，然后 他回家了，想了一个晚上，最终在入睡前找到了证明。和Pos讨论问题 时，Erdos曾给他喝咖啡。Erdos的母亲对Erdos给这么小的孩子喝咖啡大 为光火，Erdos答道：”Posa会这么说：夫人，我做着一名数学家的工作， 喝着一名数学家所喝的饮料。”Posa不到14岁时，Erdos己经把他当作成 年数学家来讨论问题。14岁那年，P0sa与Erdos合作发表了第一篇论文， 15岁时在图论方面完成了他最著名的工作。但20岁那年，P0sa就停止证 明和猜想，改行去作小学教师了。Erdos说：”我觉得非常可惜。他虽然活 着，但无异于行尸走肉，我非常希望他能尽快真正活过来。其实当他16岁 那年告诉我他宁愿做Dostoyevsky,而不做Einstein时，我就开分隐隐先些 担忧了。” 注：Frank Plumpton Ramsey,英国数学家、逻辑学家、经济学家。 他开创了组合数学中的Ramsey理论。 Fyodor Mikhaylovich Dostoyevsky,l9世纪俄国小说家，擅长强烈的 心理描写。代表作先《白痴》、《罪与没》、《卡拉马佐夫兄弟》、《群 魔》等。 10
➵➹→❻✿Ú➹→❫❃✛➥❑✧Pêsas✡15➞➝➒♠âá➌Ù❑➾➜ ✱ ➛↔❬✡➜➂✡➌❻✔þ➜⑩➟✸❭❩❝é✔✡②➨✧ ÚPêsa❄Ø➥❑ ➒➜Erdos◗❽➛Õ ❥➏✧Erdos✛✶❾éErdos❽ù♦✂✛➥❢Õ ❥➏➀ ➃✶➺➜Erdos❽✗➭”Pêsa➡ù♦❵➭’➴❁➜➲❽❳➌➯ê➷❬✛ó❾➜ Õ❳➌➯ê➷❬↕Õ✛Ø✍✧’” PêsaØ✔14➉➒➜Erdos➤➨r➛✟❾↕ ❝ê➷❬✺❄Ø➥❑✧14➉❅❝➜Pêsa❺ErdosÜ❾✉▲✡✶➌➓Ø➞➜ 15➉➒✸ãØ➄→✑↕✡➛⑩❮➯✛ó❾✧✂20➉❅❝➜PêsaÒ✃➂② ➨Úß➂➜❯✶✖❾✂➷✓➇✡✧ Erdos❵➭”➲ú✚➎⑦➀❏✧➛➃✱➵ ❳➜✂➹➱✉✶➍r❙➜➲➎⑦❋✧➛❯➛➥ý✔➵▲✺✧ Ù➣✟➛16➉ ❅❝✇❾➲➛✇✑❽Dostoyevsky➜✌Ø❽Einstein➒➜➲Ò♠➞ÛÛ❦✡ ú❜✡✧” ✺➭Frank Plumpton Ramsey➜❂■ê➷❬✦Ü✻➷❬✦➨▲➷❬✧ ➛♠▼✡⑤Üê➷➙✛Ramsey♥Ø✧ Fyodor Mikhaylovich Dostoyevsky➜19➢❱✂■✂❵❬➜ò⑧r✑✛ ✪♥↔✕✧➇▲❾❦✺①➦✻✦✺❶❺✈✻✦✺❦✳ê❻➴✼✸✻✦✺✰ ✥✻✤✧ 10