数理逻辑 课程V
数理逻辑 课程VIIII
第9章集合 第9章到第12章介绍集合论.主要介绍集合论 的基本概念和结论，这包含集合、运算、关 系、函数和基数.对概念和定理的介绍将以 数理逻辑的谓词逻辑为工具来描述，体现了 这两个数学分支之间的联系，且可使集合论 的研究既简练又严格，还将简要介绍集合论 公理系统.这个公理系统又称公理集合论， 是数理逻辑的一个分支
第9章 集 合 § 第9章到第12章介绍集合论．主要介绍集合论 的基本概念和结论，这包含集合、运算、关 系、函数和基数．对概念和定理的介绍将以 数理逻辑的谓词逻辑为工具来描述，体现了 这两个数学分支之间的联系，且可使集合论 的研究既简练又严格，还将简要介绍集合论 公理系统．这个公理系统又称公理集合论， 是数理逻辑的一个分支．
9.1集合的概念和表示方法 9.1.1集合的概念 集合是集合论中最基本的概念，但很难给出精确的定义，集 合是集合论中唯一不给出定义的概念，但它是容易理解和掌 握的. 集合是一些确定的、可以区分的事物汇聚在一起组成的一个 整体，组成一个集合的每个事物称为该集合的一个元素.或 简称一个元. 如果a是集合A的一个元素，就说a属于A,或者说a在A中， 记作a∈A, 如果b不是集合A的一个元素，就说b不属于A.或者说b不在 A中，记作bA. 集合概念是很简单的，但准确理解其含义却是十分重要的
9 ． 1 集合的概念和表示方法 9．1． 1 集合的概念 § 集合是集合论中最基本的概念，但很难给出精确的定义．集 合是集合论中唯一不给出定义的概念，但它是容易理解和掌 握的． § 集合是一些确定的、可以区分的事物汇聚在一起组成的一个 整体，组成—个集合的每个事物称为该集合的一个元素．或 简称—个元． § 如果a是集合A的一个元素，就说a属于A，或者说a在A中， 记作a∈A， § 如果b不是集合A的—个元素，就说b不属于A．或者说b不在 A中,记作bA． § 集合概念是很简单的，但准确理解其含义却是十分重要的．
特别应注意下列几点： (1)集合的元素可以是任何事物，也可以是另外的集合（以后将 说明，集合的元素不能是该集合自身) (2)一个集合的各个元素是可以互相区分开的.这意味着，在一 个集合中不会重复出现相同的元素. (3)组成一个集合的各个元素在该集合中是无次序的. (4)任一事物是否属于一个集合，回答是确定的，也就是说。对 一个集合来说，任一事物或者是它的元素或者不是它的元素， 者必居其一而不可兼而有之，且结论是确定的。 下面将用实例说明这些含义
§ 特别应注意下列几点： (1)集合的元素可以是任何事物，也可以是另外的集合(以后将 说明，集合的元素不能是该集合自身)． (2)一个集合的各个元素是可以互相区分开的．这意味着，在一 个集合中不会重复出现相同的元素． (3)组成一个集合的各个元素在该集合中是无次序的． (4)任—事物是否属于一个集合，回答是确定的，也就是说。对 一个集合来说，任一事物或者是它的元素或者不是它的元素， 二者必居其一而不可兼而有之，且结论是确定的。 下面将用实例说明这些含义．
9.1.2集合的表示方法 我们一般用不同的大写字母表示不同的集合.并用不同的小 写字母表示集合中不同的元素，但是因为某个集合的一个元 素可能是另一个集合.所以这种约定不是绝对的. 本书中规定，用几个特定的字母表示几个常用的集合.约定 N表示全体自然数组成的集合， Z表示全体整数组成的集合， Q表示全体有理数组成的集合， ·R表示全体实数组成的集合， C表示全体复数组成的集合， 本书中，规定0是自然数，即0∈N.但在另一些书中，规定0不 是自然数
9．1．2 集合的表示方法 § 我们—般用不同的大写字母表示不同的集合．并用不同的小 写字母表示集合中不同的元素，但是因为某个集合的一个元 素可能是另—个集合．所以这种约定不是绝对的． § 本书中规定，用几个特定的字母表示几个常用的集合．约定 • N表示全体自然数组成的集合, • Z表示全体整数组成的集合， • Q表示全体有理数组成的集合， • R表示全体实数组成的集合， • C表示全体复数组成的集合． 本书中,规定0是自然数,即0N．但在另一些书中,规定0不 是自然数．
·通常表示集合的方法有两种 种方法是外延表示法.这种方法一一列举出集合的全体元 素.例如 A={7,8,9}, N={0,1,2,3,}, 表示集合A有三个元素7,8,9.集合N的元素是0,1,2， 3,.,集合N就是自然数的集合，N的表示式中使用了省略 符号，这表示N中有无限多个元素4,5,6,7等.有限集合 中也可以使用省略符号，例如 fa,b,C,...,y,z 表示由26个小写英文字母组成的集合
§ 通常表示集合的方法有两种． 一种方法是外延表示法．这种方法一一列举出集合的全体元 素．例如 A={7，8，9}， N={0，1，2，3，…}， 表示集合A有三个元素7，8，9．集合N的元素是0，1，2， 3，…，集合N就是自然数的集合，N的表示式中使用了省略 符号，这表示N中有无限多个元素4，5，6，7等．有限集合 中也可以使用省略符号，例如 {a，b，c,…，y，z} 表示由26个小写英文字母组成的集合．
另一种方法是内涵表示法，这种方法是用谓词来描述集合中 元素的性质.上述的集合A和N可以分别表示为 A={x是整数且6<x<IO}, N={x是自然数}， 般情况，如果P(X)表示一个谓词，那么就可以用xP()}或 {x:P()}表示一个集合.{xP()}是使P(X)为真的所有元素组成 的集合，也就是说，若P(a)为真，则a属于该集合；若P(a) 为假，则不属于该集合.在表示式中的和：是一个分隔符 号.在它前向的x是集合中元素的形式名称（如集合A中元素 的形式名称是x,但实际名称是7,8,9.常用x,y,Z表示形 式名称).在分隔符号后面的P(凶)是仅含自由变元x的谓词公 式
另一种方法是内涵表示法，这种方法是用谓词来描述集合中 元素的性质．上述的集合A和N可以分别表示为 A＝{x|x是整数且6<x<l0}， N＝{x|x是自然数}， 一般情况，如果P(x)表示一个谓词，那么就可以用{x|P(x)}或 {x:P(x)}表示—个集合.{x|P(x)}是使P(x)为真的所有元素组成 的集合．也就是说，若P(a)为真，则a属于该集合；若P(a) 为假，则a不属于该集合．在表示式中的|和：是一个分隔符 号．在它前向的x是集合中元素的形式名称(如集合A中元素 的形式名称是x，但实际名称是7，8，9.常用x，y，z表示形 式名称)．在分隔符号后面的P(x)是仅含自由变元x的谓词公 式．
9.1.3集合的实例 例1B={9,8,8,7}, 集合B中的两个8应看作B中的同一个元素， 所以B中只有三个元素.集合B就是{9,8， 7}.它与上述的集合A是同样的集合，因为元 素之间没有次序
9．1．3 集合的实例 § 例1 B={9，8，8，7}， 集合B中的两个8应看作B中的同一个元素， 所以B中只有三个元素．集合B就是{9，8， 7}．它与上述的集合A是同样的集合，因为元 素之间没有次序．
·例2D={xXB}. 集合D是用集合B来定义的.若xB,则x∈D: 若x∈B,则xD.集合D中的元素是除7,8， 9外的一切事物
§ 例2 D＝{x |xB}． 集合D是用集合B来定义的．若xB，则xD： 若xB，则xD．集合D中的元素是除7，8， 9外的一切事物．
例3F={7,{8,9}} 集合F和集合B不同。7∈F,但8F, 9F.只有8∈{8，{9}和9∈{9}.集合F仅含有 两个元素7和{8，{⑨}，这两个元素由表示F的 最外层花括号包围，并由逗号分隔开.对于 以集合为元素的集合（即有多层花括号的集合）， 应注意集合的层次
§ 例3 F={7，{8，{9}}}． 集合F和集合B不同。7F，但8F， 9F．只有8{8，{9}}和9{9}．集合F仅含有 两个元素7和{8，{9}}，这两个元素由表示F的 最外层花括号包围，并由逗号分隔开．对于 以集合为元素的集合(即有多层花括号的集合)， 应注意集合的层次．