课程网站 http://math.sjtu.edu.cn/course/skymath/ 第三讲万数皆图：费马猜想的证明 一、神奇的15(CS定理)的证明思想 回忆：15-定理是指 正整数系数的四元多项式ax2+by2+cz2+du2是万有多项式←→ 它能表示15以内的所有正整数： 为什么？？ 学过线性代数的同学都知道，四元多项式ax2+by2+cz2+dw2是二次 型的特殊情形.因此，可以更一般地问：哪些整系数正定（四元）二次型是万 有二次型？CS的证明利用了正定二次型与正定矩阵、内积等工具.其思想 是每个正定的二次型都是某个“格”(lattice)的“范数”(norm). 1
➅➜✤Õ http://math.sjtu.edu.cn/course/skymath/ ✶♥ù ✙ê✛ã➭↕êß➂✛②➨ ➌✦✥Û✛15(CS➼♥)✛②➨❣➂ ↔➪➭15-➼♥➫➁ ✔✒ê❳ê✛♦✄õ➅➟ax2 + by2 + cz2 + dw2 ➫✙❦õ➅➟ ⇐⇒ ➜❯▲➠15➧❙✛↕❦✔✒ê➐ ➃➓♦??? ➷▲❶✺➇ê✛Ó➷Ñ⑧✗➜♦✄õ➅➟ax2 + by2 + cz2 + dw2 ➫✓❣ ✳✛❆Ï➐✴. Ï❞➜➀➧➁➌❸✴➥➭❂✡✒❳ê✔➼(♦✄)✓❣✳➫✙ ❦✓❣✳➸CS✛②➨⑤❫✡✔➼✓❣✳❺✔➼Ý✡✦❙➮✤óä. Ù❣➂ ➫③❻✔➼✛✓❣✳Ñ➫✱❻✴❶✵↔lattice↕✛✴❽ê✵↔norm↕. 1
例1平面上最简单的格是所有整数点（即横纵坐标均为整数的点） 形成的集合L={(,)川z,y∈Z,一般将其记为Z2.利用线性组合的概念 又可以表成Ze1+Ze2,其中e1=(1,0),e2=(0,1).这两个向量e1,e2称 为L的基(basis).此时，L中的每个向量(x,y)可被唯一写成xe1+ye2, 其范数（即长度的平方）恰好是 x2+y2. 这是一个正定二次型.一个格的基不必唯一，比如Z2还有基1=(-1，-2)，v2= (1,1),即Ze1+Ze2=Zw1+Z2.此时向量(x,y)可被唯一写成(x-y)v1+ (2x-)v2.注意向量(x,)的范数是 (x-y)2+(2x-y)2=5x2-6xy+2y2. 这仍是一个正定二次型，且正好是向量x1+y2的范数！ e2 格Z2 2
⑦1 ➨→þ⑩④ü✛❶➫↕❦✒ê✿ ↔❂î♣❿■þ➃✒ê✛✿↕ ✴↕✛✽ÜL = {(x, y)|x, y ∈ Z, ➌❸òÙP➃Z 2 . ⑤❫❶✺⑤Ü✛❱❣ q➀➧▲↕Ze1 + Ze2 , Ù➙e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) . ùü❻➉þe1, e2 → ➃L✛➘(basis). ❞➒➜ L➙✛③❻➉þ(x, y)➀✚➁➌✕↕xe1 + ye2 ➜ Ù❽ê(❂⑧Ý✛➨➄)❚Ð➫ x 2 + y 2 . ù➫➌❻✔➼✓❣✳. ➌❻❶✛➘Ø✼➁➌➜✬❳Z 2 ❸❦➘v1 = (−1, −2), v2 = (1, 1) , ❂Ze1 + Ze2 = Zv1 + Zv2 . ❞➒➉þ(x, y)➀✚➁➌✕↕(x − y)v1 + (2x − y)v2 . ✺➾➉þ (x, y)✛❽ê➫ (x − y) 2 + (2x − y) 2 = 5x 2 − 6xy + 2y 2 . ù❊➫➌❻✔➼✓❣✳➜❹✔Ð➫➉þ xv1 + yv2 ✛❽ê➐ ✲ ✲ ✻ e1 e2 ✒ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁☛ v1 v2 ✻ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ❶Z 2 2
例2设L=Z1+Z2,其中1=(1,0)，2=(-，).由于每个格点 的纵坐标必然为my,m∈Z,因此格L中的点不都是整数格点.但L中的 每个点xU)+yw2的范数是 x2+y2-ty 这仍是一个整系数正定二次型.注意山1=(-1,0)，2=(-，)也是一组 基，此时点xu1+yu2的范数是正定二次型 x2+2+xy! 格L 启示：一个格可以有多个正定（二次）型与之对应.问题：这些正定二次 型有何关系？这就引出一个非常重要而美丽的工具：矩阵. 3
⑦2 ✗L = Zv1 + Zv2➜Ù➙ v1 = (1, 0), v2 = (− 1 2 , √ 3 2 ) . ❞✉③❻❶✿ ✛♣❿■✼✱➃m √ 3 2 , m ∈ Z➜Ï❞❶ L➙✛✿ØÑ➫✒ê❶✿. ✂ L➙✛ ③❻✿ xv1 + yv2 ✛❽ê➫ x 2 + y 2 − xy. ù❊➫➌❻✒❳ê✔➼✓❣✳. ✺➾ u1 = (−1, 0), u2 = (− 1 2 , √ 3 2 )➃➫➌⑤ ➘➜❞➒✿xu1 + yu2 ✛❽ê➫✔➼✓❣✳ x 2 + y 2 + xy! ✲❏ ✲ ❏❪❏ v1 v2 = u2 ✻ u1 ✛ • • • • •••• • • • • •••• • • • • •••• • • • • •••• • • • • •••• • • • • •••• ❶L é➠➭➌❻❶➀➧❦õ❻✔➼(✓❣)✳❺❷é❆. ➥❑➭ù✡✔➼✓❣ ✳❦Û✬❳➸ùÒÚÑ➌❻➎⑦➢❻✌④✇✛óä➭Ý✡. 3
一个m×n矩阵A=(a)是m行n列的mn个数排成的矩形数阵： a11 a12 ain a21 a22 a2n A= =Amxn ami am2 amn 行数与列数相等的矩阵称为方阵.本课程主要涉及方阵. 矩阵可以自然地定义加减法，但最常用、最“自然的”矩阵乘法却多 少有点怪异：首先，矩阵Amxn与矩阵Bpxg做乘法要满足条件n=p,即第 一个（或左边）的矩阵的列数要等于第二个（或右边）的矩阵的行数.比 如两个同阶的方阵可以做乘法.乘法的规则如下：设Amxp=(a),Bpxn= (b),则它们的乘积Cmxn=AB=(c)的第i行第j列的元素c等于 k=1 此称为矩阵乘法的“左行右列”规则，即用左边矩阵的“行”乘右边 在的“列”，可以图示为 bij baj a2… aip … bpi 按照大家熟悉的语言，两个矩阵的乘积实际上是左边矩阵的行与右边 矩阵的列做内积：因此矩阵的乘法是按每个“元素”来做“乘法”运算， 从中可以看出该“乘法”实际上不是通常的（数字）乘法，而是数字乘法与加 法的混合体 4
➌❻m × nÝ✡A = (aij )➫m✶n✎✛mn❻êü↕✛Ý✴ê✡➭ A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn = Am×n ✶ê❺✎ê❷✤✛Ý✡→➃➄✡. ✢➅➜❒❻✕✾➄✡. Ý✡➀➧❣✱✴➼➶❭⑦④➜✂⑩⑦❫✦⑩✴❣✱✛✵Ý✡➛④✪õ ✟❦✿✪➱➭➘❦➜Ý✡Am×n❺ Ý✡Bp×q❽➛④❻÷✈❫❻n = p➜❂✶ ➌❻↔➼❺❃↕✛Ý✡✛✎ê❻✤✉✶✓❻↔➼♠❃↕✛Ý✡✛✶ê. ✬ ❳ü❻Ó✣✛➄✡➀➧❽➛④. ➛④✛✺❑❳❡➭✗Am×p = (aij ), Bp×n = (bkl)➜❑➜❶✛➛➮Cm×n = AB = (cij )✛✶i✶✶j✎✛✄❷cij✤✉ cij = X p k=1 aikbkj . ❞→➃Ý✡➛④✛✴❺✶♠✎✵✺❑➜❂❫❺❃Ý✡✛✴✶✵➛♠❃ ✸✛✴✎✵➜➀➧ã➠➃ ai1 ai2 · · · aip b1j b2j · · · bpj . ❯ì➀❬Ù●✛❾ó➜ü❻Ý✡✛➛➮➣❙þ➫❺❃Ý✡✛✶❺♠❃ Ý✡✛✎❽❙➮➯Ï❞Ý✡✛➛④➫ ❯③❻✴✄❷✵✺❽✴➛④✵✩➂➜ ❧➙➀➧✇Ñ❚✴➛④✵➣❙þØ➫Ï⑦✛(ê✐)➛④➜✌➫ê✐➛④❺❭ ④✛➲Ü◆. 4
3按矩阵柔法的定义，(10)（9)=0，(9)）(10)- (8) 两个同阶的方阵的乘积 ()08)-(8) 因此矩阵的乘法不满足交换律.这里 最主要的原因是矩阵的乘法本质上是“映射或函数的复合” 实际上，交换律是个非常好的东西：a+b=b+a,ab=ba!你证明过 吗？试试下面的两设题（其中·表示加法或乘法）： (1)235711131719917131117532=917131117532235711131719? (2)ev2V=√2ev2? 做矩阵加法时最简单矩阵是0，因为A+0=A.做乘法是最简单的矩 阵有2个，一个还是0，因为A0=0B=0:还有一个是类似于数字1的矩 阵，称为单位矩阵(identity matrix!或者unit matrix),记为I(线性代数中常 常记为E),其长相如下 1 0 0 0 0 1 0 In Inxn =diag(1,1,…,1) 00 0… 性质AmxnIn=A,InBnxq=B.特别，若A是n阶方阵，则AI= IA=A. 矩阵的威力：(1)Fibonacci(Leonardo Fibonacci,1170-l250,Italian)数 列是指Fo=0,乃=1，Fn+1=Fn-1+Fn,n≥2.问题：Fn的通项是什么？ (2)图像的存储与传输 5
⑦3 ❯Ý✡➛④✛➼➶➜ 1 0 0 1 ! = 0➜ ✂ 0 1 ! 1 0 = 0 0 1 0 ! . ü❻Ó✣✛➄✡✛➛➮➭ 0 0 1 0 ! 1 0 0 0 ! = 0 0 1 0 ! ➜ ✌ 1 0 0 0 ! 0 0 1 0 ! = 0 0 0 0 ! . Ï❞Ý✡✛➛④Ø÷✈✂❺➷. ù♣ ⑩❒❻✛✝Ï➫Ý✡✛➛④✢➓þ➫✴◆✓➼➻ê✛❊Ü✵. ➣❙þ➜✂❺➷➫❻➎⑦Ð✛➚Ü➭a + b = b + a, ab = ba! ❭②➨▲ í➸➪➪❡→✛ü✗❑(Ù➙♣▲➠❭④➼➛④)➭ (1) 235711131719♣917131117532 = 917131117532♣235711131719? (2) e √ 2♣ √ 2 e = √ 2 e ♣e √ 2 ? ❽Ý✡❭④➒⑩④üÝ✡➫ 0 ➜Ï➃A + 0 = A. ❽➛④➫⑩④ü✛Ý ✡❦2❻➜➌❻❸➫ 0 ➜Ï➃A0 = 0B = 0➯❸❦➌❻➫❛q✉ê✐ 1 ✛Ý ✡➜→➃ü➔Ý✡(identity matrix➼öunit matrix)➜P➃I (❶✺➇ê➙⑦ ⑦P➃ E)➜Ù⑧❷❳❡ In = In×n = 1 0 0 · · · 0 0 1 0 · · · 0 · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · 1 = diag(1, 1, · · · , 1). ✺➓ Am×nIn = A, InBn×q = B. ❆❖➜❡A ➫n ✣➄✡➜❑AI = IA = A. Ý✡✛✪å➭(1) Fibonacci (Leonardo Fibonacci, 1170-1250, Italian)ê ✎➫➁F0 = 0, F1 = 1, Fn+1 = Fn−1 + Fn, n ≥ 2. ➥❑➭Fn✛Ï➅➫➓♦➸ (2)ã➈✛⑧❀❺❉Ñ 5
二次型与矩阵的关系 伽鼓简单份=次图2+P可表示为(：)(） 也可以写 (:)(:）=*题+可来示(：()(：) 般地，二次型ax2+by2+cz2+dw2可表示为 (r yz w diag(a,b,c,d) 问题：二次型5x2-6xy+2y2如何用矩阵的乘法表示？比较简单 的一种表达是()(5。)() 当然，此答案不唯一，比 如.(：)(8）(：) 通此用矩阵的乘法表示二次型可以有无 穷多种方式，诀格是：其中对称矩阵只有一种！该对称矩阵称为该二次型 的矩阵. 格L一{二次型的等价类}一对称矩阵A(L) Warning:整系数二次型的矩阵未必是整数矩阵；于是，二次型可分为 整数矩阵二次型与整二次型(=整系数二次型).CS的15-定理指的都是整数 矩阵二次型 研究二次型（特别地，万有二次型）一研究格一研究对称矩阵！ 6
✓❣✳❺Ý✡✛✬❳ ⑦4 ⑩④ü✛✓❣✳x 2 + y 2 ➀▲➠➃ x y x y ! ➜➃➀➧✕ ↕ x y I x y ! . ✓❣✳ x 2 + 2y 2 ➀▲➠➃ x y 1 0 0 2 ! x y ! . ➌❸✴➜✓❣✳ax2 + by2 + cz2 + dw2 ➀▲➠➃ x y z w diag(a, b, c, d) x y z w . ➥❑➭✓❣✳5x 2 − 6xy + 2y 2 ❳Û❫Ý✡✛➛④▲➠➸✬✖④ü ✛➌➠▲❼➫ x y 5 −3 −3 2 ! x y ! ➯✟✱➜❞❽❨Ø➁➌➜✬ ❳➜ x y 5 −6 0 2 ! x y ! . Ï❞❫Ý✡✛➛④▲➠✓❣✳➀➧❦➹ →õ➠➄➟➜ü❶➫➭Ù➙é→Ý✡➄❦➌➠➐❚é→Ý✡→➃❚✓❣✳ ✛Ý✡. ❶L ↔ {✓❣✳✛✤❞❛} ↔é→Ý✡A(L) Warning: ✒❳ê✓❣✳✛Ý✡➍✼➫✒êÝ✡; ✉➫➜✓❣✳➀➞➃ ✒êÝ✡✓❣✳❺✒✓❣✳(=✒❳ê✓❣✳). CS✛15-➼♥➁✛Ñ➫✒ê Ý✡✓❣✳. ï➘✓❣✳(❆❖✴➜✙❦✓❣✳)↔ï➘❶↔ï➘é→Ý✡➐ 6
CS的做法： 1.能阵表达1的1维格是L1=,e1=1,相应的二次型为f(x)= x2,相应的对称矩阵为A=(1).该二次型显然恰好表示了所有平方数 2.扩充该1维格L1=以得到2维格L2=,此时e1= (1,0),e2待定.假设L2对应的（对称）矩阵为 4-(8) 二次型为 f(x,y)=22+2axy by2. 由正定性可知a2<b.欲使f(c,)=x2+2axy+bg能阵表达2，可知b≤2， 因此a=0,±1.即有下述四种情形 (0)(0)(1)(1) 而第三、四个矩 阵所对应同一个格，故实际上能阵表达整数1与2的格（等价地，二次型）只有 三种： (0)(09）(1) 例1与例2给出了第一个与第三个格，第二个格与第一个类似 三元二次型（等价地，3维格）如何？ 7
CS✛❽④➭ 1. ❯✡▲❼ 1 ✛1➅❶➫L1 =, e1 = 1, ❷❆✛✓❣✳➃f(x) = x 2 , ❷❆✛é→Ý✡➃A = (1). ❚✓❣✳✇✱❚Ð▲➠✡↕❦➨➄ê. 2. ✯➾❚1➅❶L1 =➧✚✔2➅❶L2 =, ❞➒e1 = (1, 0), e2➊➼.❜✗L2é❆✛(é→)Ý✡➃ A = 1 a a b ! , ✓❣✳➃ f(x, y) = x 2 + 2axy + by2 . ❞✔➼✺➀⑧a 2 < b. ➊➛f(x, y) = x 2 + 2axy + by2❯✡▲❼ 2➜➀⑧b ≤ 2, Ï❞ a = 0, ±1. ❂❦❡ã♦➠➐✴ 1 0 0 1 ! , 1 0 0 2 ! 1 1 1 2 ! , 1 −1 −1 2 ! . ✌✶♥✦♦❻Ý ✡↕é❆Ó➌❻❶➜✙➣❙þ❯✡▲❼✒ê1❺2✛❶(✤❞✴➜✓❣✳)➄❦ ♥➠➭ 1 0 0 1 ! , 1 0 0 2 ! 1 1 1 2 ! . ⑦1❺⑦2❽Ñ✡✶➌❻❺✶♥❻❶➜✶✓❻❶❺✶➌❻❛q. ♥✄✓❣✳(✤❞✴➜3➅❶)❳Û➸ 7
注意上述三个2维格的第一、第三个不能表示3，第二个不能表示5.因 此，只考虑前两个.将它们扩充成3维格L3=.欲使它们能够分 别表示3与5，则L3对应的矩阵应为 正定性要求a,b=0,1:c,d=0,1,2.于是L3有10种情况：每一个不能表 示{1,2,3,5,6,7,10,14,15}中的一个或几个 继续！将这10个3维格扩充成4维格L4,可得203种4元二次型，几乎每 个都是万有的！ 100 例4对第一个3维格L3(1) 8 =13,其二次型x2+2+ z2(不能表示7)扩张成的四元二次型(4维格)为 x2+y2+z2+mw2(m≤7) 这些二次型都是万有的！这是因为下面的 Legendre.三平方定理正整数n可被二次型x2+y2+2表示←→ n≠4(8k+7). 习题3求一个三元正定二次型使得其不能表示的最小正整数（该数称 为truant)是14.找出该二次型对应的格的2组不同的基使得其中至少一 组基的基向量不是两两垂直的， 8
✺➾þã♥❻2➅❶✛✶➌✦✶♥❻Ø❯▲➠3➜✶✓❻Ø❯▲➠5. Ï ❞➜➄⑧➘❝ü❻. ò➜❶✯➾↕3➅❶L3 =. ➊➛➜❶❯✡➞ ❖▲➠3❺5➜❑L3é❆✛Ý✡❆➃ 1 0 0 0 α 0 0 0 β , 1 0 a 0 1 b a b 3 , 1 0 c 0 2 d c d 5 . ✔➼✺❻➛a, b = 0, 1; c, d = 0, 1, 2. ✉➫L3❦10➠➐➵➭③➌❻Ø❯▲ ➠{1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15}➙✛➌❻➼❆❻. ❯❨➐òù10❻3➅❶✯➾↕4➅❶L4➜➀✚203➠4✄✓❣✳➜❆✂③ ❻Ñ➫✙❦✛➐ ⑦4 é✶➌❻3➅❶L3(1) = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = I3➜Ù✓❣✳x 2 + y 2 + z 2 (Ø❯▲➠7)✯Ü↕✛♦✄✓❣✳(4➅❶)➃ x 2 + y 2 + z 2 + mw2 (m ≤ 7) ù✡✓❣✳Ñ➫✙❦✛!ù➫Ï➃❡→✛ Legendre♥➨➄➼♥ ✔✒ên ➀✚✓❣✳x 2 + y 2 + z 2 ▲➠ ⇐⇒ n 6= 4e (8k + 7). ❙❑3 ➛➌❻♥✄✔➼✓❣✳➛✚ÙØ❯▲➠✛⑩✂✔✒ê(❚ê→ ➃truant)➫14. éÑ❚✓❣✳é❆✛❶✛2⑤ØÓ✛➘➛✚Ù➙➊✟➌ ⑤➘✛➘➉þØ➫üü❘❺✛. 8
注1.A.M.Legendre(勒让德，1752-1833)，法国著名的3L之一（另两个 是Laplace和Lagrange,是埃菲尔铁塔上的72个名字之一).证明了n=5时 的费马大定理.素数猜想是其首先公布的，但高斯说自己很小的时候（大 约14、5岁，比勒让德早5、6年)就己经得出了素数分布的公式，勒让德听 后愤怒异常，但又无可奈何.勒让德发明了最小二乘法，但高斯说他自己很 小的时候就已经使用了最小二乘法，大约比勒让德早十几二十年，不过此 时勒让德不再愤怒，因为他已经听不见了（高斯是在勒让德死后说的） 9
✺1. A.M.Legendre (❱✹✙➜1752-1833)➜④■❮➯✛3L❷➌(✱ü❻ ➫ Laplace ÚLagrange➜➫❉➍✏❝➞þ✛72❻➯✐❷➌). ②➨✡n = 5➒ ✛↕ê➀➼♥. ❷êß➂➫Ù➘❦úÙ✛➜✂♣❞❵❣❈é✂✛➒ÿ↔➀ ✕14✦5➉➜✬❱✹✙❅5✦6❝↕Ò➤➨✚Ñ✡❷ê➞Ù✛ú➟➜ ❱✹✙❢ ➨ä➱⑦➜✂q➹➀●Û. ❱✹✙✉➨✡⑩✂✓➛④➜✂♣❞❵➛❣❈é ✂✛➒ÿÒ➤➨➛❫✡⑩✂✓➛④➜➀✕✬❱✹✙❅➏❆✓➏❝➜ Ø▲❞ ➒❱✹✙Ø✷➨ä➜Ï➃➛➤➨❢Ø❸✡(♣❞➫✸❱✹✙❦❵✛). 9
现状，20O5年，M.Bhargava与Jonathan P.Hankei证明了（发表在著名数 学期刊：Inventiones Mathematicae) CS之290-猜想(1)整系数二次型能够表示所有正整数←→它能够表 示1,2,3,5,6,7,10,13,14,15,17,19,21,22,23,26,29,30,31,34,35,37， 42,58,93,110,145,203,290.进一步，存在二次型可以表示除这29个整数 中的一个外的所有正整数 (2)整系数二次型能够表示所有素数←→它能够表示 {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,67,73} (③)整系数二次型能够表示所有奇数←→它能够表示 {1,3,5,7,11,15,33} 10
②●➜2005❝➜M.Bhargava❺Jonathan P.Hanke②➨✡(✉▲✸❮➯ê ➷Ïr➭Inventiones Mathematicae) CS❷290-ß➂ (1)✒❳ê✓❣✳❯✡▲➠↕❦✔✒ê ⇐⇒ ➜❯✡▲ ➠1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 42, 58, 93, 110, 145, 203, 290. ❄➌Ú➜⑧✸✓❣✳➀➧▲➠Øù29❻✒ê ➙✛➌❻✠✛↕❦✔✒ê. (2)✒❳ê✓❣✳❯✡▲➠↕❦❷ê ⇐⇒ ➜❯✡▲➠ {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 67, 73} (3)✒❳ê✓❣✳❯✡▲➠↕❦Ûê ⇐⇒ ➜❯✡▲➠ {1, 3, 5, 7, 11, 15, 33}. 10
