海外优秀数学类教材系列丛书 翻诈版 A History of Mathematics An Introduction Second Edition) 数学史通论 (第2版) VICTOR J.KATZ 口李文林 邹建成 胥鸣伟 杨宝珊 刘建军 李培廉 译 刘向晖 吴发思袁敏 王辉 郑权杨浩菊 ☐胥鸣伟 李文林校 -4小+/4.4444+44 高等教膏出版社 Higher Edueation Press
序 言 处理方法和指导思想 美国数学协会(MAA)下属教师数学教育委员会在其《呼唤变革：关于数学教师的数学修养的建 议书》中，提议所有未来中小学数学教师 注意培养自身对各种文化在数学思想的成长与发展过程中所作的贡献有一定的鉴赏 能力；对来自各种不同文化的个人（无论男女）在古代、近代和现代数学论题的发展上所作 的贡献有所研究；并对中小学数学中主要概念的历史发展有所认识， 根据MAA的观点，数学史方面的知识能向学生表明，数学是一项非常重要的人类活动，数学不 是一产生就像我们教科书中那样完美的形式，它常常是出于解决问题的需要，以一种直观的和实验 性的形式发展出来的.数学思想的实际发展历程能有效地被用来激励和启迪今天的学生 这本新的数学史教科书是基于这样一种认识产生的，就是，不仅未来的中小数学教师，即便是 未来的大学数学教师，为了更有效地给他们的学生教好这门课，都需要对历史背景有所了解.因此 这本书是为那些主修数学、今后打算在大学或高中任教的低年级或高年级的学生设计的，所以内容 集中于中小学或大学本科教学计划中通常包含的那些数学课题的历史.因为一门数学课题的历史 会为讲解这一课题提供非常好的思路，为了使未来的数学教师能在历史的基础上开展课堂教学，我 们会对每一个新概念作充分细致的解说，实际上，许多习题就是要求读者去讲一堂课.我希望这些 学生以及未来的教师能从本书获得一种关于数学的来龙去脉的知识，一种对数学中许多重要的概 念有更深入的理解的知识. 本书特色 材料组织的灵活 尽管本书主要是按年代顺序划分成若干时期来进行组织的，但在每一时期内则是按专题来进 行组织的.通过查阅详尽的细节标题，读者可以选择某一特定的专题，对其历史的全程进行跟踪.例 如，想研究方程求解时，就可以研究古代埃及人和巴比伦人的方法，希腊人的几何解法，中国人的数 值解法，伊斯兰人用圆锥截线求解三次方程的方法，意大利人所发现的求解三次方程和四次方程的 一套算法，拉格朗日为解高次多项式方程而研究出来的一套判据，高斯在求解割圆方程方面所作的 工作，以及伽罗瓦用置换来讨论求解方程的工作，这一工作我们今天称之为伽罗瓦理论 关注教科书 全书对各个不同时期的一些重要教科书都给予了足够的重视.从事数学研究，发现新的定理和 技巧是一回事.以一种使其他人也能掌握的方式来阐述这些定理和技巧则又是一回事.因此几乎在 每一章中都会讨论一种或几种那个时代的重要的教科书.这是这样一些著作，学生们能够通过它们
·2 言 来学习那些伟大的数学家们的思想，今天的学生将能够看到某些论题在过去是怎样被处理的，并能 将这些处理方法与当今教科书中的方法加以比较，而且还能看到许多年前的学生想要解决的是什 么样的问题 天文和数学 有两章是完全用来讲数学方法的，也就是讲数学是怎样用于解决人类其他活动领域内的问题 的.这两章，一章是关于希腊时期的，另一章则涉及文艺复兴时期，它们相当大的部分是讲述天文学 的.事实上，在古代，数学家和天文学家常常是同一个人.要想了解希腊数学的主要内容，关键是要 了解希腊人关于天体的模型，以及怎样借助这个模型用数学来得出预言.类似地，我们还会讨论哥 白尼一开普勒的天体模型以及文艺复兴时期的数学家们是怎样用数学来研究它的. 非西方数学 我们还下了特别的功夫来讨论数学在世界上除欧洲以外一些地区的发展.于是有相当多的材 料是有关中国、印度和伊斯兰世界的数学的.还安排了一个“插人章”，在该章中比较了大约在14世 纪之交时各主要文明的数学.接着讨论了在世界各地各种其它社会中的数学.读者会看到，有些数 学概念在很多地方出现过，尽管也许并不是在我们西方称之为“数学”的背景中出现 按专题分类的习题 每一章均含有许多习题，为了便于选取，这些习题都是按专题分类汇集的.有些习题只是简单 的计算，有些则是填补正文中数学论证的空白.讨论题是一种无明确答案的漫谈式问题，其中有些 可能要做些研究才能回答.很多这一类的问题要求学生动脑筋思考怎样利用在课堂上学到的历史 材料.（大多数计算习题的答案可在书后的答案小节中找到.）有许多习题即使读者不打算做，他们 也至少应该阅读一下这些题，以便对该章的内容有更全面的了解 焦点论坛 小传为了便于参阅，对许多我们谈到过他们工作的数学家，其小传被放在独立于正文的栏框 中.特别是，尽管由于种种原因参与到数学研究中来的妇女为数不多，我们还是写了几位重要的女 数学家的小传.妇女通常都是在克服了重重困难后才能成功地对数学事业作出贡献， 专题还有一些特殊论题以加框文字的形式散见于全书.其中有这样一些条目，如：埃及人对 希腊数学影响问题的讨论，托勒密著作中函数概念的讨论，各种连续概念的比较.还有这样一些加 框读物，它们把重要的定义汇集在一起以便于查阅参考. 补充教学资料每一章的开始有一段相关引语和对一桩重要数学“事件”的描述.每一章的末 尾都有一张讲到过的数学家的简短的编年表，这将有助于学生组合他们的知识.每章还有一份附加 了注释的参考文献，学生们从这些文献中可以获得更多的信息.最后，在前面有一张数学史的大事 年表和一张标明了正文提到过的一些重要地点的位置的地图 预备知识 学过一年微积分，具备了可资实用的知识，就足以理解本书的头十二章，以后的几章要求更多 一些数学上的准备，但是各节的标题就清楚地表明了需要哪些数学知识.例如，要想充分理解第14 章和第15章，就要求学生学过抽象代数
序 言 3· 本版更新之处 本书第一版获得了广泛友好的接受，这鼓励我保持它的基本体系和内容.然而，我仍力图在本 书的内容及表述的清晰性两方面作出一系列的改进.改进的根据是许多使用本书第一版的人所提 出的意见以及在新近文献中所刊载的有关数学史中的一些新发现.实际上每一小节都有一些小小 的改动，较大的改动则有以下一些：有关伊斯兰传统组合学的新材料；牛顿对他的世界体系的推导， 19世纪和20世纪中的线性代数，以及19世纪中的统计概念.我力求改正史实上的全部错误，并杜 绝新的错误，但对任何人指出本书还余留的错误，我将深表感谢.每章还增加了一些新的问题，其中 有些比较简单.参考文献方面也尽可能作了更新.还增加了一些新的邮票作为插图.不过应当注意 到，任何这种试图表现16世纪前数学家的邮票上的画像—一别处的画像实际上也一样一都是想 像的.至今还没有哪一张这种人物的画像是有可靠证据的. 课程内容的弹性 本书包括的材料远远超过了普通一学期的数学史的课程.实际上，它的材料适合一学年的课 程.前一半内容是讲述直到17世纪末微积分发明为止的这一时期的.后半部分内容则是讲18、19 和20世纪数学的.然而对于那些只有一个学期学时的教师来说，有几种使用本书的方式：第一种方 式可以选前十二章中的绝大部分内容，然后简单地以微积分作结束；第二种方式是，可以选一到两 个专题的全部历史.以下是可供选择的专题以及相应的章节： 方程求解：1.4,1.8,1.9,2.4.3,2.5,5.2,6.3,6.4,6.7,6.8,7.2,8.3,9.3,9.4,11.2， 14.2.4,15.2 微积分思想：2.3.2,2.3.3,2.4.9,3.2,3.3,7.2.4,7.4.4,8.4,10.5,12,13,16.1,16.2， 16.3,16.4 几何学的概念：1.5,1.8,2.1,2.2,2.4,3.3,3.4,3.5,4.3,5.3,7.4,8.1,10.1,11.1， 11.5,14.3,17,18.2 三角学、天文学和测量：1.6,4.1,4.2,6.2,6.6,7.5,8.1,10.2,10.3,12.5.6,13.1.3 组合学、概率论和统计学：6.8,7.3,8.2,11.3,14.1,16.5 线性代数：1.4,14.2.2,14.2.4,15.5,17.4,18.3.3,18.4.7 数论：2.1.1,2.4.7,5.1,11.4,14.2.3,15.1 近世代数：6.8,7.2,8.3,9.1,9.2,14.2,15.2,15.3,15.4,18.3,18.4.4,18.4.6,18.4.8 第三种方式，可以讲授前十章绝大部分的内容，然后再按某个专题，从后面的章节中选几个概 念来讲.我们还可以给个别学生或学习小组指定阅读章节，并让他们做读书报告， 致谢 和任何一本书一样，要不是有许多人的帮助，本书是不可能写成的.下面各位对本书的第一版 颇多贡献，他们的投入继续对本书的改进发挥作用：Mancia Asher(Ithaca学院)，J.Lennart Berggren (Simon Fraten大学)，Robert Kreiser(A.A.U.P),Robert Rosenfeld(Nassau杜区大学)和John Milcetich (哥伦比亚特区大学). 很多人对本书的第二版作了详尽的建议，尽管我没有全部采纳（这使我颇觉遗憾），我真诚地感 谢他们为改进本书所提出的想法，这些人中有Ivor Grattan-Guinness,Kim Plofker,Eleanor Robson
·4 序 言 Richard Askey,William Anglin,Claudia Zaslavsky,Rebekka Struik,William Ramaley,Joseph Albree,Calvin Jongsma,David Fowler,John Stillwell,Christian Thybo,Jim Tattersall,Judith Grabiner,Tony Gardiner, UbiD'Ambrosio,Dirk Struik,和David Rowe.我衷心地感谢所有这些人， 对书稿审阅的很多人也以他们细致深人的评论给了我很大的帮助，使本书增色不少，没有他们 的帮助本书就不会是现在这个样子 第一版的审稿人有：Duane Blumberg,西南路易斯安那大学；Walter Czamec,Framingham州立大 学；Joseph Dauben,Herbert Lehman学院-CUNY;Harvey Davis,密执安州立大学；Joy Easton,西弗吉尼 亚大学；Carl FitzGerald,加州大学圣地亚哥分校；Basil Gordon,加州大学洛杉矶分校；Mary Gray,美国 大学；Branko Grunbaum,华盛顿大学；William Hintzman,圣地亚哥州立大学；Barnabas Hughes,加州州立 大学-Northridge;Israel Kleiner,York大学；David E.Kullmam,.迈阿密大学；Robert L.Hall,威斯康星大 学，Milwaukee分校；Richavd Marshal,东密执安大学；Jerold Mathews,衣阿华州立大学；Willard Parker, 堪萨斯州立大学；Clinton M.Pety,Missouri-Columbia大学，Howard Prouse,Mamkato州立大学；Helmut Rohrl,.加州大学圣地亚哥分校；David Wilson,佛罗里达大学；以及Frederick Wright,北卡罗来纳大学 Chapel分校. 第二版的审稿人有：Salvatore Anastasio,纽约州立大学，New Platy分校；Bruce Crauder,Oklahoma 州立大学；Walter Czamec,Framingham州立大学；William England,密西西比州立大学；David Jabon,东 华盛顿大学；Charles Jones,Ball州立大学；Michael Lacey,印地安那大学；Harold Martin,北密执安大学； James Murdock,衣阿华州立大学；Ken Shaw,佛罗里达州立大学；Sverre Smalo,加州大学，Santa Barbara 分校；Domina Eberle Spencer,Connecticut大学；Jimmy Woods,North Georgia College. 我还在各种论坛上与许多数学史家们交谈过，从中获益匪浅.特别是那些定期参加由美国国家历 史博物院数学馆前馆长Uta Merzbach组织的数学史年会的数学家们一定会认得出有些观，点是在那些 年会上讨论过的.本书还从多年来与其他一些人的讨论获益，其中有Charles Jones(Ball州立大学)， V.Frederick Rickey(Bowling Green州立大学)，Florence Fasanelli(MAA),Israel Kleiner(York大学)， Abe Shenitzer(York大学)，Ubiratan D'Ambrosio(Estadual de Campinas大学)，以及Frank Swetz(Pennsylvania 州立大学).我在哥伦比亚特区大学数学史（及其他）班上的学生在澄清我的诸多观念上也给了我不少 帮助.自然，我欢迎其他地方的学生和同事努力为进一步改进本书提出更多的意见和给我来信 还要特别感谢哥伦比亚特区大学图书馆馆员们，特别是Clement Goddard,他总是设法通过馆际 交流为我找到任何我想要的那些不见经传的书籍.Smithsonian协会图书馆特别收藏部的Leslie Overstreet在寻找图片来源时对我的帮助特别大. 感谢Harper Collins出版社的前编辑Steve Quigley,Don Gecewicz和George Duda,他们帮助我完成 了本书的第一版 我还应感谢Addison Wesley Longman出版社本书的新编辑Jennifer Albanese,.感谢她在完成本书 的出版中所作的建议和表现出的耐心.还有Rebecca Malone和Barbara Pendergast,感谢她们在安排印 装等生产方面的事务上所作的努力，还要感谢Susan Holbert在准备索引上所作的工作 我的家庭在我撰写本书的多年中给了我极大的支持，我感谢我的父母对我的信任和耐心；感谢 我的孩子Sharon,Ari和Naomi,他们常常给我帮助，特别是允许我使用我们的电脑；最后我要感谢我 的妻子菲丽丝，不论白天还是夜晚都和我进行长时间的讨论，在我需要时总是在我身边，我欠她的 远远超过我能偿还的 V.J.卡兹
目 录 序言 1 第一篇6世纪前的数学 第1章古代数学… (1) 1.1古代文明… (2) 1.2计数… (4) 1.3算术计算 (7) 1.4线性方程… ............... (12) 1.5初等几何 (16) 1.6天文计算… (20) 1.7平方根… (22) 1.8毕达哥拉斯定理… (24) 1.9二次方程… (28) 第2章希腊数学的开始… (39) 2.1最早的希腊数学… (40) 2.2柏拉图时期… (44) 2.3亚里士多德… (45) 2.4欧几里得与《原本》… (48) 2.5欧几里得的其他著作… (74) 第3章阿基米德与阿波罗尼乌斯… (81) 3.1阿基米德和物理学… (82) 3.2阿基米德和数值计算… (85) 3.3阿基米德与几何… (87) 3.4阿波罗尼乌斯之前的圆锥曲线研究… … (91) 3.5阿波罗尼乌斯的圆锥曲线论… (92) 第4章古希腊时代的数学方法… (107) 4.1托勒密之前的天文学… (108) 4.2托勒密与《大成》… (115) 4.3实用数学 4… (124) 第5章希腊数学的晚期… (133) 5.1尼可马科斯和初等数论… (135) 5.2丢番图和希腊代数… (137) 5.3帕普斯与分析… (145)
·Ⅱ 目录 第二篇 中世纪的数学：500-1400 第6章中世纪的中国和印度… (154) 6.1中世纪的中国数学简介 (154) 6.2观测的数学和天文学 (155) 6.3不定分析… (157) 6.4解方程 (161) 6.5中世纪印度数学介绍 (166) 6.6印度三角学…… (167) 6.7印度对不定方程的研究 (172) 6.8代数与组合学… (178) 6.9印度-阿拉伯十进位值制数系 (181) 第7章伊斯兰数学… (189) 7.1十进制算术 (190) 7.2代数… (193) 7.3组合数学 (208) 7.4几何学 (211) 7.5三角学 (216) 第8章中世纪的欧洲数学… (228) 8,1几何学和三角学… ....... (231) 8.2组合学… (238) 8.3中世纪的代数… (242) 8.4运动的数学 4444* (248) 插入章世界各地的数学… (260) I.114世纪转折时期的数学 (260) I.2美洲、非洲以及太平洋地区的数学 (263) 第三篇 早期近代数学：1400-1700 第9章文艺复兴时期的代数…… (271) 9.1意大利的算图学家… (272) 9.2法国、德国、英国和葡萄牙的代数 (275) 93三次方程的求解… (282) 94韦达和斯蒂文的工作… (288) 第10章文艺复兴时期的数学方法 (302) 10.1透视学… (305) 10.2地理和航海… (309)
目 录 ·Ⅲ· 10.3天文学和三角学… (312) 10.4对数… (325) 10.5运动学… (328) 第11章17世纪的几何、代数和概率… (337) 11.1解析几何… (337) 11.2方程理论… (346) 11.3初等概率论 ……… (349) 11.4数论… (357) 11.5射影几何… (358) 第12章微积分的开端 (366) 12.1切线和极值… (367) 12.2面积和体积… (371) 12.3幂级数… (384) 12.4曲线求长法和基本定理… (387) 12.5伊萨克·牛顿 (392) 12.6戈特弗里德…威廉…莱布尼茨… (406) 12.7第一批微积分教科书… (413) 第四篇 近代数学：1700-2000 第13章18世纪的分析学 (425) 13.1微分方程… (426) 13.2微积分学课本… (437) 13.3重积分…… (447) 13.4偏微分方程：波动方程… (450) 13.5微积分学的基础…… (452) 第14章18世纪的概率、代数和几何… (465) 14.1概率论 (466) 14.2代数与数论… (475) 14.3几何学… (484) 14.4法国大革命与数学教育… (495) 14.5美洲的数学发展… (497) 第15章19世纪的代数 (507) 15,1数论… (508) 15.2解代数方程… (515) 15.3群和域一结构研究的开始… (522) 15.4符号代数… (527) 15.5矩阵和线性方程组… (534)
·V· 录 第16章19世纪的分析 (548) 16.1分析的严谨性 (549) 16.2分析的算术化 (567) 16.3复分析… (573) 16.4向量分析… (580) 16.5概率论与统计学… (584) 第17章19世纪的几何学… (597) 17.1微分几何学… (598) 17.2非欧几里得几何… (601) 17.3射影几何… (610) 17.4n维几何… (615) 17.5几何基础… (618) 第18章20世纪的数学… (626) 18.1集合论：问题和悖论 (627) 18.2拓扑学… (633) 18.3代数方面的新思想… (639) 18.4计算机及其应用… (646) 习题答案… (665) 总参考文献… (672)
第一篇 6世纪前的数学 第/章 古代数学 精确计算，通向世间万物和一切奥秘的知识的大门 —一《兰德数学纸草书》引言1 美索不达米亚：大约3800年前在拉沙的一所培养书记员的学校里，有一位教师正在编撰一些 数学问题给他的学生去做，以便他们练习一下刚刚讲过的关于直角三角形三边之间关系的结论.这 位老师既要让这个计算有一定的难度，这样才能看出谁真正学懂了这些知识，又要让算出的结果为 整数，以免学生的学习积极性受到挫伤.经过几个小时反复摆弄他所知道的不多几个能满足方程 a2+b2=c2的三数组(a,b,c)之后，他有了一个新的想法.他用笔尖在一块潮湿的泥板上划了几 下，很快做了些计算，这使他相信自己已经发现了怎样来算出这种三数组，要多少就能算多少，在进 一步整理了自己的思路之后，他取出一块新的泥板，不仅在上面记录下了15组这种三数组，而且简 要地提示了某些计算步骤.但是他没有写出他的新方法的细节，这些要留到给同事们做报告时再 说.那时他的同事们就不得不承认他的能力，这样他作为最好的数学教师之一的声誉就会传遍整个 王国. 上面开头那句摘自一部古代埃及的珍稀数学文献的引语，以及那个讲叙巴比伦书记员的虚构 故事表明了想准确描绘古代数学的某些难处.实际上，凡是有记载的古代文明就一定有数学，但是 它总是落在那些受过专门训练的祭司和书记员以及政府官员们的手中，这些人的职务就是在收税、 测量、营造、制订日历，祭仪等等领域内来发展和利用数学为政府谋取利益.尽管许多数学概念起源 于它们在这些场合的应用，但是数学家们总是要发挥他们的好奇心，把他们的思想推进到超过实际 需要的范围，不过由于数学是权力的工具，它的方法只传授给有特权的少数人，而且常常是通过口 传.因此文字记载通常是很珍稀的，不大能提供细节内容. 近年来，学者们下了很大的功夫从一切可能找到的蛛丝马迹来重建古代文明中的数学，自然， 他们不会在每一点上都意见一致，但已有足够的共识使我们能够对埃及，美索不达米亚，中国和印 度的古代文明中的数学勾勒出一幅合情合理的图画.为了能清楚地看出这些古代文明中数学的相
