第7节 灵敏度分析 以前讨论线性规划问题时，假定ai,b,c,都是常数。 但实际上这些系数往往是估计值和预测值。 如市场条件一变，c,值就会变化；a往往是因工艺 条件的改变而改变；b是根据资源投入后的经济效 果决定的一种决策选择。 因此提出这样两个问题： (1)当这些系数有一个或几个发生变化时，已求得的线 性规划问题的最优解会有什么变化； (2)或者这些系数在什么范围内变化时，线性规划问题 的最优解或最优基不变。后一个问题将在第8节参 数线性规划中讨论
第7节 灵敏度分析 • 以前讨论线性规划问题时，假定αij ， bi,cj都是常数。 但实际上这些系数往往是估计值和预测值。 • 如市场条件一变， cj值就会变化；αij往往是因工艺 条件的改变而改变； bi是根据资源投入后的经济效 果决定的一种决策选择。 • 因此提出这样两个问题： (1)当这些系数有一个或几个发生变化时，已求得的线 性规划问题的最优解会有什么变化； (2)或者这些系数在什么范围内变化时，线性规划问题 的最优解或最优基不变。后一个问题将在第 8节参 数线性规划中讨论
线性规划问题中某一个或几个系数发生变化 显然，当线性规划问题中某一个或几个系数发 生变化后，原来已得结果一般会发生变化 当然可以用单纯形法从头计算，以便得到新的 最优解。这样做很麻烦，而且也没有必要 因在单纯形法迭代时，每次运算都和基变量的 系数矩阵B有关，因此可以把发生变化的个别 系数，经过一定计算后直接填入最终计算表 中，并进行检查和分析，可按表2-9中的几种情 况进行处理
线性规划问题中某一个或几个系数发生变化 • 显然，当线性规划问题中某一个或几个系数发 生变化后，原来已得结果一般会发生变化 • 当然可以用单纯形法从头计算，以便得到新的 最优解。这样做很麻烦，而且也没有必要 • 因在单纯形法迭代时，每次运算都和基变量的 系数矩阵 B有关，因此可以把发生变化的个别 系数，经过一定计算后直接填入最终计算表 中，并进行检查和分析，可按表2-9中的几种情 况 进行处理
表2-9 原问题 对偶问题 结论或继续计算的步骤 可行解 可行解 表中的解仍为最优解 可行解 非可行解 用单纯形法继续迭代求最优解 非可行解 可行解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 非可行解 非可行解 引进人工变量，编制新的单纯形表，求最 优解 下面就各种情况分别按节进行讨论
表 2-9 原问题 对偶问题 结论或继续计算的步骤 可行解 可行解 表中的解仍为最优解 可行解 非可行解 用单纯形法继续迭代求最优解 非可行解 可行解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 非可行解 非可行解 引进人工变量，编制新的单纯形表，求最 优解 下面就各种情况分别按节进行讨论
7.1 资源数量变化的分析 资源数量变化是指资源中某系数b,发生变化 即b.'=b.+△b.。并假设规划问题的其他系数 都不变。这样使最终表中原问题的解相应地变 化为 =B-1(b+△b) 这里△b=(0,…,△b,0,…, 0)T。只要 委，最提帮粉查发姿化，所议为新 ≥0，因最终表中检验数不变，故最优基不 的最优解 新的最优解的值可允许变化范围用以下方法确 定
7.1 资源数量变化的分析 • 资源数量变化是指资源中某系数b r发生变化， 即b r′=b r+Δb r。并假设规划问题的其他系数 都不变。这样使最终表中原问题的解相应地变 化为 X B′=B-1(b+Δb) • 这 里 Δb=(0, … ， Δb r,0, … ， 0) T 。只要 X B′≥0，因最终表中检验数不变，故最优基不 变，但最优解的值发生了变化，所以X B′为新 的最优解 • 新的最优解的值可允许变化范围用以下方法确 定
B1是最终计算表中的最优基的逆 0 B-1(b+△b)=B-1b+B-1Ab=B-1b+B-1△b, 0 0 airAbr alr -1 B △br ar△br =△br 0 、amAb,)
B-1 是最终计算表中的最优基的逆 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ Δ= ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ ΔΔΔ = ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ Δ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ Δ+=Δ+=Δ+ − − − − − − mr ir r r rmr rir rr r r a a a b ba ba ba bB bBbBbBbBbbB # # # # # # # # 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 )(
b列的元素变化 在最终表中求得的经过变化后的b列的所有元素， 要求b+air△br≥0，i=1,2,…,m。由此可得 air△b≥-bi,i=l,2,…,m 当ar>0时，△b≥-bi/air 当air0m是40
b列的元素变化 在最终表中求得的经过变化后的 b 列的所有元素， 要求b i+ a irΔbr≥0，i=1,2,…,m。由此可得 a irΔbr≥- b i，i=1,2，…，m 当 a ir＞0 时，Δbr≥- b i/ a ir； 当 a ir＜0 时，Δbr≤- b i/ a ir；于是得到 ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ ≤Δ≤ 0 min 0 ir iri i ir r iri i a ab a b ab
例如求第1章例1中第二个约束条件b,的变化范围。 ·解：可以利用第1章例1的最终计算表中的数据： C1→ 2 3 0 0 0 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 0 2 X1 4 1 0 1 1/4 0 0 X5 4 0 0 -2 1/2 1 3 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0 -z -14 0 0 -3/2 -1/8 0
例如求第1章例1中第二个约束条件b 2的变化范围。 • 解：可以利用第1章例1的最终计算表中的数据： cj→ 2 3 0 0 0 CB X B b x 1 x 2 x3 x4 x 5 θ 2 x 1 4 1 0 1 1/4 0 0 x 5 4 0 0 -2 1/2 1 3 x 2 2 0 1 1/2 -1/8 0 -z -14 0 0 -3/2 -1/8 0
可计算△b2: 0 4 0 1/4 Bb+B△b2 4 + -2 1/2 9 0 3 1/2-1/8 0 4 1/4 0 二 4 + 1/2△b2≥ 2-1/8 0 由上式，可得 △b,≥-4/0.25=-16 △b2≥-4/0.5=-8 b,≤2/0.125=16。所以△b,的变化范围是[-8， 16];显然原b2=16,加它的变化范围后，b2的变化 范围是[8,32]
可计算Δb2： ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≥Δ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Δ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −+ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Δ+ −− 0 0 0 8/1 2/1 4/1 2 4 4 0 0 08/12/1 12/12 04/10 2 4 4 0 0 2 2 2 11 b bBbB b 由上式，可得 Δb 2≥-4/0.25=-16 ， Δb 2≥-4/0.5=-8 ， b 2≤2/0.125=16 。 所 以 Δb 2 的 变 化 范 围 是 ［ -8 ， 16］；显然原b2 =16，加它的变化范围后， b 2的变化 范围是［8，32］
例7从表1-5得知第1章例1中，每设备台时的影子价 格为1.5元，若该厂又从其他处抽调4台时用于生产产 品I,Ⅱ。求这时该厂生产产品I,Ⅱ的最优方案。 C1→ 2 3 0 0 0 Ce Xe b X1 X2 X3 X4 X5 日 2 X1 4 1 0 1 1/4 0 0 X5 4 0 0 -2 1/2 1 3 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0 -Z -14 0 0 -3/2 -1/8 0
例7 从表1-5得知第1章例1中，每设备台时的影子价 格为1.5元，若该厂又从其他处抽调4台时用于生产产 品Ⅰ，Ⅱ。求这时该厂生产产品Ⅰ，Ⅱ的最优方案。 cj→ 2 3 0 0 0 CB X B b x 1 x 2 x3 x4 x 5 θ 2 x 1 4 1 0 1 1/4 0 0 x 5 4 0 0 -2 1/2 1 3 x 2 2 0 1 1/2 -1/8 0 -z -14 0 0 -3/2 -1/8 0
解先计算B1△b,将结果反映到最终表1-5中， 得表2-10。 0.25 (4 0 B-Ab= -2 0.5 0 -8 0.5-0.125 0 2 C1→ 2 3 0 0 0 Ce Xe b X1 2 X3 X4 X5 2 X1 4+0 0 0 0.25 0 0 X5 4-8 0 0 [-2] 0.5 1 3 X2 2+2 0 1 0.5 -0.125 0 Ci-Zi 0 0 -1.5 -0.125 0
解 先计算B-1Δb,将结果反映到最终表1-5中， 得 表2-10。 ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ − −=Δ− 280 004 0125.05.0 15.02 025.00 1 bB cj→ 2 3 0 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 2 0 3 x1 x5 x2 4+0 4-8 2+2 1 0 0 0 0 1 0 [-2] 0.5 0.25 0.5 –0.125 0 1 0 cj-zj 0 0 -1.5 -0.125 0