第2章对偶理论和灵敏度分析 第5节对偶问题的经济解释 影子价格
第2章 对偶理论和灵敏度分析 第5节 对偶问题的经济解释 ——影子价格
Y的经济意义是什么？ ·在单纯形法的每步迭代中，目标函数取值 z-CBBb,和检验数CN-CB-1N中都有乘子 Y-CpB-1 ·设B是{max z=CX|AX≤b,X≥0}的最优 基，由(2-12)式可知z=CBB-1b=Y*b .对z求偏导数，得2=CB1=Y ab 。7 变量y:*的经济意义是在其他条件不变的情沉 下，单位资源变化所引起的目标函数的最优 值的变化
Y的经济意义是什么 ? • 在单纯形法的每步迭代中，目标函数取值 z=C B B-1 b，和检验数 C N-C B B-1 N中都有乘子 Y=C B B-1 • 设 B是｛max z=CX｜AX ≤ b ， X ≥ 0｝的最优 基，由 (2-12)式可知 z *=C B B-1b=Y *b • 对 z求偏导数，得 • 变量 y i *的经济意义是在其他条件不变的情况 下，单位资源变化所引起的目标函数的最优 值的变化 *1 * YBC b z B == ∂ ∂ −
由例1最优表 cj 2 3 0 0 0 0 Ce Xe b X1 X2 X3 Xa X5 2 X1 4 1 0 0 1/4 0 0 X5 4 0 0 -2 1/2 1 3 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0 -Z -14 0 0 -3/2 -1/8 0 y1*y2* y3*
由例1最优表 cj 2 3 0 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 θ 2 x1 4 1 0 0 1/4 0 0 x5 4 0 0 -2 1/2 1 3 x2 2 0 1 1/2 -1/8 0 -z -14 0 0 -3/2 -1/8 0 y1* y2* y3*
y1*-1.5,y2*=0.125,y3*=0。 这说明是其他条件不变的情况下，若设备增加一台 时，该厂按最优计划安排生产可多获利1.5元；原材 料A增加1kg,可多获利0.125元；原材料B增加1kg, 对获利无影响。 从图2-1可看到，设备增加一台时，代表该约束条件 的直线由①移至①'，相应的最优解由(4,2)变为 (4,2.5),日标函数z=2×4+3×2.5=15.5,即比原 来的增大1.5。又若原材料A增加1kg时，代表该约束 方程的直线由②移至②'，相应的最优解从(4,2) 变为(4.25,1.875)，日标函数z=2 ×4.25+3×1.875=14.125。比原来的增加0.125。原 材料B增加1kg时，该约束方程的直线由③移至③ ,这时的最优解不变
y 1 *=1.5 ， y 2 *=0.125 ， y 3 *=0 。 • 这说明是其他条件不变的情况下，若设备增加一台 时，该厂按最优计划安排生产可多获利1.5元；原材 料 A增加1kg，可多获利0.125元；原材料 B增加1kg ， 对获利无影响。 • 从图2-1可看到，设备增加一台时，代表该约束条件 的直线由①移至①′，相应的最优解由(4，2)变为 (4，2.5)，目标函数z=2×4+3×2.5=15.5，即比原 来的增大1.5。又若原材料A增加1kg时，代表该约束 方程的直线由②移至②′，相应的最优解从(4，2) 变 为 (4.25 ， 1.875) ， 目 标 函 数 z= ２ ×4.25+3×1.875=14.125。比原来的增加0.125。原 材料B增加1kg时，该约束方程的直线由③移至③ ′，这时的最优解不变
图2-1 X2 ② ② B(4,2.5) 一一一 3 3 C(4.25,1.875) 2 A4,2) 1 ① 0 1 23 4 5 6 7 8 9x1
图2-1
y;的值代表对第种资源的估价-影子价格 这种估价是针对具体工厂的具体产品而存在的一种 特殊价格，称它为“影子价格” 在该厂现有资源和现有生产方案的条件下，设备的 每小时租费为1.5元，1kg原材料A的出让费为除成本 外再附加0.125元，1kg原材料B可按原成本出让，这 时该厂的收入与自己组织生产时获利相等 影子价格随具体情况而异，在完全市场经济的条件 下，当某种资源的市场价低于影子价格时，企业应 买进该资源用于扩大生产；而当某种资源的市场价 高于企业影子价格时，则企业的决策者应把已有资 源卖掉。可见影子价格对市场有调节作用
y i *的值代表对第 i种资源的估价-影子价格 • 这种估价是针对具体工厂的具体产品而存在的一种 特殊价格，称它为 “影子价格 ” • 在该厂现有资源和现有生产方案的条件下，设备的 每小时租费为1.5元，1kg原材料A的出让费为除成本 外再附加0.125元，1kg原材料B可按原成本出让，这 时该厂的收入与自己组织生产时获利相等 • 影子价格随具体情况而异，在完全市场经济的条件 下，当某种资源的市场价低于影子价格时，企业应 买进该资源用于扩大生产；而当某种资源的市场价 高于企业影子价格时，则企业的决策者应把已有资 源卖掉。可见影子价格对市场有调节作用
第6节 对偶单纯形法 ·前节讲到原问题与对偶问题的解之间的对应关 系时指出：在单纯形表中进行迭代时，在b列 中得到的是原问题的基可行解，而在检验数行 得到的是对偶问题的基解。 通过逐步迭代，当在检验数行得到对偶问题的 。 解也是基可行解时，根据性质(4)、（⑤）可知，己 得到最优解。即原问题与对偶问题都是最优解
第6节 对偶单纯形法 • 前节讲到原问题与对偶问题的解之间的对应关 系时指出：在单纯形表中进行迭代时，在b列 中得到的是原问题的基可行解，而在检验数行 得到的是对偶问题的基解。 • 通过逐步迭代，当在检验数行得到对偶问题的 解也是基可行解时，根据性质(4)、(5)可知，已 得到最优解。即原问题与对偶问题都是最优解
根据对偶问题的对称性 可以这样考虑：若保持对偶问题的解是 基可行解，即c-CBP≤0，而原问题在 非可行解的基础上，通过逐步迭代达到 基可行解，这样也得到了最优解 ·其优点是原问题的初始解不一定是基可 行解，可从非基可行解开始迭代。 ·方法如下：
根据对偶问题的对称性 • 可以这样考虑：若保持对偶问题的解是 基可行解，即 cj-C B B-1 Pj ≤ 0，而原问题在 非可行解的基础上，通过逐步迭代达到 基可行解，这样也得到了最优解。 • 其优点是原问题的初始解不一定是基可 行解，可从非基可行解开始迭代。 • 方法如下：
设原问题 max z-CX AX-b X≥0 ·又设B是一个基。 不失一般性，令B=(P1,P2,,Pm),它对 应的变量为XB(X1,X2’Xm)I 当非基变量都为零时，可得到X=Bb。若 在Bb中至少有一个负分量，设(Bb),<0, 并且在单纯形表的检验数行中的检验数都为 非正，即对偶问题保持可行解，它的各分量 是
设原问题 max z=CX AX=b X≥0 • 又设B是一个基。 • 不失一般性，令B=(P1，P2，…，Pm)，它对 应的变量为 XB=(x1，x2，…,xm)T • 当非基变量都为零时，可得到XB=B-1b。若 在B-1b中至少有一个负分量，设(B-1b)i＜0， 并且在单纯形表的检验数行中的检验数都为 非正，即对偶问题保持可行解，它的各分量 是
(1)对应基变量x1,x2,,x的检验数是 01-C1z;-C1CgB1P=0,i=1,2,,m (2)对应非基变量x1,,x的检验数是 oC;zc;CgB1P;≤0，j-m+1,,n
(1) 对应基变量x 1，x 2 ， …,x m的检验数是 σ i=c i-z i=c i-C B B-1 P i=0，i=1,2, …,m (2) 对应非基变量xm+1 ， …，x n的检验数是 σ j=c j-z j=c j-C B B-1 P j≤0，j=m+1, …,n