第一章数学的起源和早期发展 数学与其他科学分支一样，是在一定的社会条件下，通过 人类的社会实践和生产活动发展起来的一种智力积累。其主 要内容反映了现实世界的数量关系和空间形式，以及它们之 间的关系和结构。这可以从数学的起源得到印证。 古代非洲的尼罗河、西亚的底格里斯河和幼发拉底河、中 南亚的印度河和恒河以及东亚的黄河和长江，是数学的发源 地。这些地区的先民由于从事农业生产的需要，从控制洪水和 灌溉，测量田地的面积、计算仓库的容积、推算适合农业生产 的历法以及相关的财富计算、产品交换等等长期实践活动中 积累了丰富的经验，并逐渐形成了相应的技术知识和有关的 数学知识。 第一节古埃及、古巴比伦的数学 一、古埃及的数学 古代埃及人凭借尼罗河沿河两岸的沃土，用他们的智慧 独立地创造出了灿烂的古代文化。远在公元前4000年以前的 古埃及的文明，已经有了象形文字，大约于公元前3000年左 右，埃及成为统一的奴隶制国家。根据现在保存在英国牛津 Ashmolean博物馆的古埃及第一王朝时期（约公元前3400年 以前)一个王室的权标上象形文字的记载，当时一次胜仗曾俘 获过120000名俘虏，400000头牛，1422000头羊。这表明当时
埃及人已能用象形文字表示大的数目。 1.古埃及人的记数法 古埃及人是用以10为基的象形数字记数的。 10 100 1000 10000 100000 Q 1000000 10000000 介于其间的各数由这些符号的组合来表示，书写方式是 从右往左。所以IAGn 表示为32。 尽管埃及是最早采用10进数制的国家之一，由于没有采 用位置记数的方法，这样就给记数带来了麻烦（详见第三节）。 古埃及人用纸草作为书写材料，纸草是尼罗河三角洲沼 泽地盛产的一种水生植物，把这种草的茎依纵向剖成小薄片， 然后压平晒干使之成为纸卷，可用于书写。由于埃及地区气候 干燥，因此有些纸草能幸运地保存至今。其中有两卷纸草记录 了古埃及数学资料。它们都产生于公元前1700年左右。一卷 称为莫斯科纸草（图1-1），其中含有25个数学问题，由俄国 人戈兰尼采夫(To.eHMIIeB)于1893年在埃及发现，现存于莫 斯科美术博物馆。另一卷称为兰德纸草（图1-2）由英国人兰 德(A.Henry.Rhind)于l858年在埃及购买的，后收藏于英国 博物馆。因纸草是由埃及人阿默士(Ahmes)从公元前3000年 的文献中抄写下来，记录着85个数学问题的抄本，所以又称
为阿默士纸草。这两卷纸草是现在我们研究古埃及数学的主 要来源。 :! 图1-1莫斯科纸草上的两列象形文字 图1-2德纸草（第10,11,13,14,15页） 》.古埃及人的算术知识 在莫斯科和兰德纸草中记载的110个数学问题多半来源 于实际计第。由于任何一个自然数都可以由2的各次幂的和 组成。因此我们可以发现古埃及人的计算技术具有迭加的特 --3
征。 通常进行加减法运算时，他们用添上或拆掉一些数字记 号求得结果，而进行乘法或除法运算时，则需要利用连续加倍 的运算来完成。 例如，计算：27×31。 因为27=2°+2+23+2=1+2+8+16， 于是只要把31的这些倍数加起来，即可求得27×31的 积。其作法如下： *1 31 *2 62 x 124 *8 248 *16 +496 、 837 把那些带有*号的31的倍数加起来，即得积837。 又如计算：745÷26。 只要连续地把除数26加倍，直到再加倍就超过被除数 745为止。其程序如下： 1 26 2 52 *4 104 *8 208 *+16 416 28 °745=416+329 =416+208+121 一4-
=416+208+104+17。 从上述带有(*)号的各项，便可得出，其商为16十8+4 =28,其余数为17， 古埃及算术最可注意的方面是分数的记法和计算。 古埃及人通常用单位分数（指分子为1的分数）的和来表 示分数。记法独特，如尽表示号，只表示0，特殊分 数子，表示为中 兰德纸草里有个数表，它把分子为2而分母为5到100 的奇数的这类分数，表达成为单位分数的和 用现代的记号，其首末几行可表示为： -+品 号=+ 0与◆◆ 1 1 97-56+679+776 21 1 99=66+198 这样古埃及人就可以利用这张表进行分数运算了。 例如要用5除以21。运算程序可以如下地进行： 员=分++员分++拉++ 贵++最分+宁+ =号+品=号++ 由于整数与分数的运算都较为繁复，古埃及算术难以发 展到更高的水平
3.古埃及的代数 在兰德纸草上有一个方程问题：“有一堆（古埃及人把未 知数称为‘堆’，它本来的意思是指数量是未知数的谷物的堆) 它的号加它的号，加它的号，再加全部共为33”，用现在的计 算形式写出来就是： 2 x+3x+2+7 =33。 纸草作者用算术方法正确地解决了这个问题：x=14 97 但是分数部分写成 器=星+动+品+60+6+十 11 在莫斯科纸草上有一个面积问题：“把-个面积为100的 正方形分为两个小正方形，使其中一个的边长是另一个的四 分之三”，写成现在的形式为 x2+y2=100,x:y=1: 3 4 纸草作者是这样解的：作一个边长为1的正方形， 取它的子为另一正方形的边，两个正方形的总面积为1器 求出1号的平方根为.求出10的平方根为10，用10除以 ,得到8，这就是其中一个正方形的边长。然后再将它乘以 即得另一正方形的边长为6。但是在整个解的过程中 有说明为什么要这样做。 在兰德纸草中还出现了有关算术级数的问题：“5个人分 100个面包，要求每个人所得的份数构成一个算术级数”。纸 -6
草作者先令公差为最小项的5合倍，设最小项为1，于是得到 级数：1,61217号23：但是这五项的和是60，为了满足 题设条件，他把各项都分别乘以号·最后得到这个级数应该为 1号，10吾，20,29日，38号. 由上所述，古埃及人虽然能解决相当于今天解方程的问 题，但实质上用的是纯粹算术的方法，还没有出现代数语言。 并不存在解方程的概念。 4.古埃及的几何 古代埃及人留下了许多气势宏伟的建筑，其中最突出的 是约公元前2900年兴建于下埃及的法老胡夫的金字塔，高达 146.5米，塔基每边平均宽230米，任何一边与此数值相差不 超过0.11米，正方程度与水平程度的平均误差不超过万分之 一。与金字塔媲美的另一建筑群是上埃及的阿蒙神庙。其中 卡尔纳克的神庙主殿总面积达5000平方米，有134根圆柱， 中间最高的12根高达21米。这些宏伟建筑的落成，离不开几 何学知识。 另-方面，几何学也起源于古埃及的农业。在兰德纸草中 有19个关于土地面积和谷仓容积的计算问题。表明当时的埃 及人已经会正确计算矩形、三角形和梯形的面积，并能对其他 一些几何图形采用近似计算法，例如在求任意四边形的面积 时，出现过近似公式： a+b).c+d(其中a、b和c、d分别是四边形的两组 2 2 对边)。 古埃及人很可能已经知道了后来称为毕达哥拉斯定理的
个别特殊情况。例如，埃及人可能已知：把12个单位长的绳子 用结分成长为3、4、5个单位的三段，可以用来构造直角，但是 这种推测尚未被学者所公认。 在兰德纸草上有一个求圆形土地面积的例子。他们把圆 面积表示为（号d)(其中d为圆的直径）根据这个结果，可知 当时埃及人所用的圆周率约为3.1605…，与π值的误差仅 约为0.6%。 对立方体、柱体等体积的计算，他们给出一些计算的法 则，其中有比较准确的也有较为粗略的。值得注意的是，在莫 斯科纸草中有一个正四棱台的体积的具体计算方法上、下底 面和中截面的面积之和乘以高的号。用现代的记号表示为 V=合(a2+ab+6) 其中，a、b分别是上、下底面正方形的边长，h是高。 这个计算与我们现在所用的公式完全相同，可以说这是 埃及几何中最出色的成就之一。 二、古代巴比伦的数学 公元前4000年左右，生活在西亚的底格里斯河和幼发拉 底河之间的地带，即“美索波达米亚”地区的人民相继创造了 西亚上古时期的文明，已经有了象形文字，大约于公元前 1900年形成了奴隶制的巴比伦王国。 从19世纪前期开始，在美索波达米亚工作的考古学家们 进行了系统的挖掘工作，发现了大约50万块刻写着文字的 “泥板”。古巴比伦人用一种断面呈三角形的笔在粘土板上刻 出楔形的痕迹，称为楔形文字，这种泥板经晒干或烘烤之后， —8-
遂被长时间地、完整地保留了下来。现在世界上许多博物馆， 如著名的伦敦、巴黎、柏林等博物馆中都收裁有许多这类泥 板。在发掘出来的50万块泥板中，约有400块是数学泥板，其 中记载有数字表和数学问题。 1.古代巴比伦的记数法与六十进位制 古代巴比伦人借助于符号【和《，可以表示所有的 整数，如： 7 Im或片或型 1 2 3 4 5 6 形 ((和。代 8 9101112 20 30 40 《 K K 50 60 70 80 120 130 巴比伦数系的特点是六十进位制。地质学家W·K·劳 夫特斯于1854年发掘出两块泥板（称为森开莱泥板）其中-一 块上面刻着一个数列，用现代符号来写，前七个数是1,4,9， 16,25,36,49。显然这是一个自然数平方的数列。49以下 自然应该是64,81，…。但记载的却是1·4,1·21…直到58 ·1。这个问题只有在六十进位记数制中才能得到妥善的解 释： 9
1·4=1×60+4=64=82, 1·21=1×60+21=81=92, 58·1=58×60-+1=3481=592。 由上所述，古代巴比伦人已经懂得了用相同的符号可以 按其位置不同来表示不同的数值，这种60进位的位值制记数 法，是一项重要的贡献。但是这种记数法并不完善。例如 YY〈《这个记号，既可以表示2×60+20=140，也 可以表示为2×60+20=7220。他们用留空位的办法代表 零。例如<T可以表示11×602+5=39605。此 外，巴比伦人经常使用分数，而且通常总是以常数60,60，… 为分母。但是他们并没有像现代的十进位分数那样的记号，而 是与表示整数的记号混淆使用。例如〈《【T【作为分 数时，可以表示为器也可以表示为+ 602 <YYY 4 YY 既可表示为整数23×60+32， 也可以表示为分数器+器，还可以表示为23+器。因此， 要弄清巴比伦数字的真正数值还必须联系上下文，依靠智力 进行推定。 至于巴比伦人为什么要采用六十进位制呢？现代人们有 种种的推测：一般认为60是许多简单数字如2,3,4,5,6,10， 12…的公倍数，它可以使一些较大单位的之，号，号。…的 小单位，在转化为较大单位时成为整数。也有的认为60二12 ×5,12是一年包含的月数，5是一只手的手指数。 2.古代巴比伦人的算术运算 巴比伦人对于加减法的运算只不过是加上或去掉些数字 --10-