课程网站 http://math.sjtu.edu.cn/course/skymath/ 第二讲智者的沉思：从勾股定理到费马猜想 随堂练习1：求你能写出的最大的本原毕达哥拉斯三元组 当然存在无限多个本原毕达哥拉斯三元组，为什么？ 思考题：单位圆周x2+2=1上有多少个有理点（即两个坐标都为有 理数的点)？ 思考题：圆周x2+y2=3上有多少个有理点？请比较上面的思考题 随堂练习2：如果两个整数都能表示为两个平方数之和，则它们的积 也能表示为两个平方数之和。 (随堂练习3).证明：7至少是4个平方数的和：23至少是9个立方 数的和：79至少是19个四次方数的和 四元多项式x2+y2+之2+2w2可以表示任何正整数吗？2x2+22+ 2z2+2w2可以表示任何正整数吗？因此，产生一般的问题： 哪些四元多项式可以表示任何正整数？这样的多项式称为万有多项 式(universal polynomial),比如x2+y2+z2+w2.哪些多项式是万有多 项式？显然只有有限个形如ax2+by2+cz2+dw2,a,b,c,d均为正整数的万 有多项式（为什么？）· 课堂练习：请将1729表示成两个正整数的立方和. 课堂练习.证明：拉玛努扬多项式[1；2；5；5]不能表示15
课程网站 http://math.sjtu.edu.cn/course/skymath/ 第二讲 智者的沉思：从勾股定理到费马猜想 随堂练习 1： 求你能写出的最大的本原毕达哥拉斯三元组. 当然存在无限多个本原毕达哥拉斯三元组，为什么? 思考题：单位圆周 x 2 + y 2 = 1上有多少个有理点 (即两个坐标都为有 理数的点)？ 思考题：圆周 x 2 + y 2 = 3上有多少个有理点？请比较上面的思考题. 随堂练习 2：如果两个整数都能表示为两个平方数之和，则它们的积 也能表示为两个平方数之和。 (随堂练习 3). 证明：7 至少是 4 个平方数的和； 23 至少是 9 个立方 数的和；79 至少是 19 个四次方数的和. 四元多项式 x 2 + y 2 + z 2 + 2w 2 可以表示任何正整数吗？ 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 + 2w 2 可以表示任何正整数吗？因此，产生一般的问题： 哪些四元多项式可以表示任何正整数？这样的多项式称为万有多项 式 (universal polynomial)，比如 x 2 + y 2 + z 2 + w 2 . 哪些多项式是万有多 项式？显然只有有限个形如 ax2 + by2 + cz2 + dw2 , a, b, c, d 均为正整数的万 有多项式（为什么？）. 课堂练习：请将 1729 表示成两个正整数的立方和. 课堂练习. 证明：拉玛努扬多项式 [1; 2; 5; 5] 不能表示 15. 1
第三讲万数皆图：费马猜想的证明 课堂练习：在Z4中，证明或否定下列等式： (a+b)2=a2+b2,(a+b)3=a3+b3,(a+b)4=a4+b4(1) 有何感想？在Z5中有什么令人惊奇的公式吗？ 课堂练习3（略难）.Fano平面上的直线有多少个？ 2
第三讲 万数皆图：费马猜想的证明 课堂练习：在 Z4 中，证明或否定下列等式： (a + b) 2 = a 2 + b 2 , (a + b) 3 = a 3 + b 3 , (a + b) 4 = a 4 + b 4 (1) 有何感想？在 Z5 中有什么令人惊奇的公式吗？ 课堂练习 3(略难). Fano 平面上的直线有多少个？ 2
第四章天籁之音：黎曼假设 课堂习题1.证明1og2(3/2)不是有理数，从而不可能与7/12以及任 何分数相等. 课题问答：(1)π的小数点后会不会有0123456789连续出现？ (2)π的小数点后会不会有连续十个7出现？（英国著名数学家Roger Penrose说人类几乎不可能知道这件事：此人与著名的霍金合作证明了宇宙 有黑洞) 高德纳为每个第一次指出其书中一处错误的人支付$2.56. 课堂问答：试解释高德纳选择这样一个“奇怪”数额的原因. Eler断言 加严=1-2+6+8 3+-7刀+9 =1-原1+原…1-后1+后)… =1-31- 2m3…1- n2m2… 课堂练习2：将上式最后的乘积展开，求其中平方项的系数？ 课题问答（较难）：是否存在满足下列条件的函数？ f(1)=1,f(x+1)=xf(x) 课堂练习：按照一一对应的理论，证明小于1的正实数（即区间(0,1）和 所有正实数一样多！ 课堂问答：有理数多还是无理数多？ 5
第四章 天籁之音：黎曼假设 课堂习题 1. 证明 log2 (3/2)不是有理数，从而不可能与 7/12 以及任 何分数相等. 课题问答：(1) π 的小数点后会不会有 0123456789 连续出现? (2) π 的小数点后会不会有连续十个 7 出现? (英国著名数学家 Roger Penrose 说人类几乎不可能知道这件事：此人与著名的霍金合作证明了宇宙 有黑洞.) 高德纳为每个第一次指出其书中一处错误的人支付 $2.56. 课堂问答：试解释高德纳选择这样一个“奇怪”数额的原因. Euler 断言 sin x x = 1 − x 2 3! + x 4 5! − x 6 7! + x 8 9! − · · · = (1 − x π )(1 + x π )· · ·(1 − x nπ )(1 + x nπ )· · · = (1 − x 2 π 2 )(1 − x 2 2 2π 2 )· · ·(1 − x 2 n2π 2 )· · · 课堂练习 2：将上式最后的乘积展开，求其中平方项的系数？ 课题问答 (较难)： 是否存在满足下列条件的函数？ f(1) = 1, f(x + 1) = xf(x). 课堂练习: 按照一一对应的理论，证明小于1 的正实数 (即区间 (0, 1]) 和 所有正实数一样多! 课堂问答：有理数多还是无理数多? 3
第五讲宇宙的形状-庞加莱猜想 课题问答：五角星+五边形是否可以一笔画？正方形加上两条对角 线是否可以一笔画？ 课题问答与练习：正n(n≥4)边形加上其所有对角线是否可以一笔 画？ 课题问答：什么是3-维球面？或如何构造3-维球面？ 课堂练习：两个圆周的乘积S1×S1是什么图形？平面的商R×R/(Z× Z)是什么图形？ 庞加莱的上半平面双曲模型，其中由弧微分给出的距离为 (ds)2=(dr2+(2 3 即两点P1=(x1,h)与P2=(2,)的距离为 d()=arecosh(+2( 2y12 其中cosh是双曲余弦函数，定义如下 cosh()=c+ez 2 而arccosh是反双曲余弦函数，即 arccosh(x)=In(x+vz2-1). 课堂练习1：(1,1)到(2,1)的距离是多少？(1,2)到(2,2)的距离是 多少？(1,3)到(2,3)的距离是多少？(0,1)到(0,2)的距离是多少？ 课堂练习2：分别计算单位圆x1=1与单位圆xo=1的直径
第五讲 宇宙的形状 - 庞加莱猜想 课题问答：五角星 + 五边形是否可以一笔画？正方形加上两条对角 线是否可以一笔画？ 课题问答与练习：正 n (n ≥ 4) 边形加上其所有对角线是否可以一笔 画? 课题问答：什么是 3- 维球面? 或如何构造 3- 维球面? 课堂练习: 两个圆周的乘积 S 1 × S 1 是什么图形? 平面的商 R × R/(Z × Z)是什么图形？ 庞加莱的上半平面双曲模型，其中由弧微分给出的距离为 (ds) 2 = (dx) 2 + (dy) 2 y 2 . 即两点 P1 = (x1, y1)与 P2 = (x2, y2)的距离为 d(P1, P2) = arccosh(1 + (x2 − x1) 2 + (y2 − y1) 2 2y1y2 ) 其中 cosh 是双曲余弦函数，定义如下 cosh(x) = e x + e −x 2 而 arccosh是反双曲余弦函数，即 arccosh(x) = ln(x + √ x 2 − 1). 课堂练习 1：(1, 1) 到 (2, 1) 的距离是多少？(1, 2) 到 (2, 2) 的距离是 多少？(1, 3) 到 (2, 3) 的距离是多少？(0, 1) 到 (0, 2) 的距离是多少？ 课堂练习 2：分别计算单位圆 ||x||1 = 1 与单位圆 ||x||∞ = 1 的直径. 4