第四章随机变量的数字特征 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了 随机变量X的概率分布， P(x) f(x) 那么X的全部概率特征 也就知道了
如果知道了 随机变量X 的概率分布， 那么X 的全部概率特征 也就知道了. x p(x) o f (x) o x 第四章 随机变量的数字特征 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布
但在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而且在一些实 际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道 它的某些数字特征就够了. 评定一批灯泡的质量，主要应看这批灯泡的平均寿命和灯 泡寿命相对于平均寿命的偏差，平均寿命越长，灯泡的质量 就越好，灯泡寿命相对于平均寿命的偏差越小，灯泡的质量就越稳定 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的. 在这些数字特征中，最常用的是抽象自平均值的期望和抽象自与平 均值的偏差程度的方差. 我们先介绍随机变量的数学期望
而且在一些实 际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道 它的某些数字特征就够了. 和抽象自与平 均值的偏差程度的方差. 平均寿命越长,灯泡的质量 就越好, 主要应看这批灯泡的平均寿命和灯 泡寿命相对于平均寿命的偏差, 但在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 . 在这些数字特征中，最常用的是抽象自平均值的期望 我们先介绍随机变量的数学期望. 评定一批灯泡的质量, 灯泡寿命相对于平均寿命的偏差越小,灯泡的质量就越稳定
§4.1随机变量的数学期望 随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一.它的定义 来自习惯上的平均值概念.我们从离散型随机变量的数学期望开始. 一、离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入： 成绩 2 3 4 5 例1甲班有30名学生，他们 人数 2 5 10 8 5 的数学考试成绩（按五级记分） 频率 2/30 5/30 10/30 8/30 5/30 如右表所示， 则该班的平均成绩 币 301x2+2x5+3x10+4×8+5×5 平均值 二二二 以频率为权的加权平均 i品+2×+3×+4×最+5 30 =3.3 币=1.+2.2+3.+4.4+… 频率和 以概率为权 概率的关系 1p+2p1+32+4p3+… 的加权平均 抽象出 试验次数很大时， 频率会接近于概率pk 数学期望
抽象出 随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一. 它的定义 来自习惯上的平均值概念. 我们从离散型随机变量的数学期望开始. §4.1 随机变量的数学期望 一、离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入： 例1 甲班有30名学生，他们 的数学考试成绩(按五级记分) 如右表所示, 则该班的平均成绩 (1 2 2 5 3 10 4 8 5 5) 30 1 W 成绩 1 2 3 4 5 人数 频率 2 5 10 8 5 2/ 30 5/ 30 10/ 30 8/ 30 5/ 30 30 5 5 30 8 4 30 10 3 30 5 2 30 2 1 3.3 平均值 === 以频率为权的加权平均 改以频率为权 的加权平均 n n n n n n n n W 1 2 3 4 1 2 3 4 频率和 概率的关系 1 p0 2 p1 3 p2 4 p3 以概率为权 数学期望 试验次数很大时, 频率会接近于概率pk
定义1(P.98定义4,1)设离散型随机变量X的分布列是P(X=x)=,1,2,… 如果∑|x;P:收敛，则称∑xkPk为X的数学期望（期望）或均值， 1 k=1 记为EX.即EX=之xkPk. E(X,Y)=>xiyPi. k=1 =1 离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛级数的和 它是随机变量所有取值的以概率为权的加权平均 例2从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗， 设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，其概率为2/5， 试求途中遇到红灯次数的数学期望. 解设X为遇到的红灯数，则X的分布列为 P(X=k)=C(2)()3(k=01,2,3, X 0 1 3 Pk 7/125 54/12536/125 8/125 Ex=0×s+I×话+2× +3 8-= 12 6-5
离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛级数的和 1 | | i 如果 x i pi 收敛, 定义1(P.98 定义4.1)设离散型随机变量X的分布列是P(X=xi)=pi , i=1,2,„ k1 则称 xk pk 为X 的数学期望(期望) 记为 EX . 125 8 3 125 36 2 125 54 1 125 7 EX 0 设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的, 或均值, 例2 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗, 试求途中遇到红灯次数的数学期望. 解 设X为遇到的红灯数, 则X 的分布列为 ) ( 0,1,2,3), 5 3 ) ( 5 2 ( ) ( 3 3 P X k C k k k k X 0 1 2 3 pk 7/125 54/125 36/125 8/125 . ( , ) 1 1 i j j ij . E X Y xi y p 1 k 即 EX xk pk 其概率为2/5, 5 . 6 它是随机变量所有取值的以概率为权的加权平均
二、连续型随机变量的数学期望 设X是连续型随机变量，其密度为f(x),在数轴上任取很密的分 点x<x,<3<…,则X落在小区间[xk,X+△x)内的概率是 fx)fxAx: f(x) 小面积近似为 由于xk与x+△x很接近，所以区间 f(Xk)△xk [xk,x+△xk)中的值可以用x来近似代替 因此X≈取值xk概率为f(ck)△xk的离散型随机变量， X XI X2 Xk Pkf(c)△x fc2)△x2 f(Kk)△xk xf(x)dx 的积分和式 它的数学期望是im∑xkf(xk)△rk=xf() 20k 这启发我们引进如下连续型随机变量的数学期望定义： 定义2(P.100定义4,2)设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x), 若Ixf(x)k收敛，则称EX=xf(x)为X的数学期望， 简称期望或均值 E(X,Y)=xyf(x,y)dxdy 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分
lim xf (x)dx 0 在数轴上任取很密的分 点 x1<x2<x3< „, 则X 落在小区间[xk , xk+xk)内的概率是 设X 是连续型随机变量,其密度为 f (x), k k k x x x f x dx ( ) ( ) . xk xk f 由于 xk 与 xk+xk 很接近, 所以区间 [xk , xk+xk )中的值可以用 xk 来近似代替. 因此 X ≈ 取值 xk、概率为 f (xk )xk 的离散型随机变量, 它的数学期望是 k k xk xk x f ( ) 的积分和式 x f (x)dx 这启发我们引进如下连续型随机变量的数学期望定义： 定义2(P.100 定义4.2) 设 X是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x), 若 收敛, | x | f (x)dx 则称 为X 的数学期望， EX x f (x)dx 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分 小面积近似为 xk xk f ( ) 简称期望或均值. E(X,Y) xy f (x, y)dxdy X x1 x2 „ xk „ pk f (x1)x1 f (x2)x2 „ f (xk)xk „ f ( x) x 二、连续型随机变量的数学期望
,X离散型 各质点坐标位置为X1,X2,… 各质点质量分别为P1,P2,… xf(x)d,X连续型 连续分布着，其线密度为f(x) 物理力学解释：设有一个总质量为1的质点系分布在x轴上， 之P,离散型， 总质量 Pk=1,离散型， 则X的数学期望 仍为EX f(x)dk=1,连续型， 与总质量之比为rxfx)d心，连续型， 这表明EX可以视为X的取值中心的坐标 质点系的质心坐标 例3设随机变量X密度为f(x)= lx-4叫 2 e 00，求E). 拉普拉斯分布 x-a 解X=nxf)=2玩xe“d 盒+e"k=a
例3 设随机变量 X 密度为 其中a, 是常数, 且>0， , 2 1 ( ) | | f x e x x a 求 E(X). 解 xe dx x a | | 2 1 EX x f (x)dx t a e dx t | | ( ) 2 1 a . 连续型 离散型 x f x dx X x p X EX k k k ( ) , , 1 物理力学解释：设有一个总质量为 1 的质点系分布在 x 轴上， ——各质点坐标位置为 各质点质量分别为 , , , , 1 2 1 2 p p x x ——连续分布着，其线密度为 f ( x ) 总质量 连续型， 离散型， ( ) 1, 1, f x dx p k k 则X 的数学期望 与总质量之比为 连续型， 离散型， ( ) , , x f x dx x p k k k 仍为 EX 这表明EX 可以视为X 的取值中心的坐标 质点系的质心坐标 x a t dx dt 拉普拉斯分布
例4p.100例5)设随机变量X密度为)=元(1+x2) -0<X<十0， 试证E(X)不存在. 柯西分布 解l=lxzd+5 不绝对收敛 2 d 元ln(1+x2 是imln(1+x) 1→+00 +0, .E(X)不存在
例4(p.100例5) 设随机变量 X 密度为 , (1 ) 1 ( ) 2 x x f x 试证 E(X)不存在. 解 dx x x (1 ) 1 | | 2 | x| f (x)dx 0 2 ln(1 ) 1 x 柯西分布 lim l n(1 ) 1 2 x x = + , ∴ E(X)不存在. 不绝对收敛 dx x x 0 2 (1 ) 2
已学过的重要分布的数学期望： 由期望的定义不难算得 若X~B(n,p),则 EX=np 若X~P(2),则 EX=几. 若XU(a,b),则EX=+b 2 若XE(2),则 EX=1/九， 若X~N(u,σ2)，则 EX=u. 例已知某地区成年男子身高X~N(1.68,o2), EX=4=1.68 这意味着，若从该地区抽查很多个成年男子，分别测量 他们的身高，那么，这些身高平均值的近似是1.68
这意味着,若从该地区抽查很多个成年男子,分别测量 他们的身高， . 2 a b EX 若X~U(a, b),则 若X~N( , EX . 2),则 若X ~P(),则 EX . 已学过的重要分布的数学期望： 由期望的定义不难算得 例 已知某地区成年男子身高 X ~ N(1.68, 2), EX 1.68 那么,这些身高平均值的近似是1.68. 若X~B(n, p), 则 EX = np . 若X~E( ),则 EX =1/
三、随机变量函数的数学期望 设已知随机变量X的分布 如何计算X的某个函数g)的期望 种方法是： g(X)也是随机变量，它的分布可以由已知的X 的分布求出来.一旦知道了g()的分布， 就可以按照期望定义把 E[g)]计算出来. 比较复杂 是否可以不先求g()的分布而只根据X的分布求得E[g()]呢？ 下面的定理指出答案是肯定的.类似EX的推理，可建立如下的定理： 定理1(P.101 4.1)设随机变量Y是随机变量X的连续函数Y=g(), (1)设X为离散型随机变量，其分布列为PX=X)=p:,=1,2,, 如果 sx川P:收敛，则EY=Eg(X)川=名g(x)P5 (2) 设X是连续型随机变量，其密度函数为f),如果Ig(x)f(x) 收敛，则距Y=E[g(X)]=g(x)f(x)d
如果 收敛, | g(x)| f (x)dx 一旦知道了g(X) 的分布, 就可以按照期望定义把 E[g(X)] 计算出来 . 它的分布可以由已知的X 的分布求出来. 三、随机变量函数的数学期望 设已知随机变量X 的分布 一种方法是: 下面的定理指出答案是肯定的. 类似 EX 的推理，可建立如下的定理: 定理1(P.101 TH4.1) 设随机变量Y 是随机变量X 的连续函数Y=g(X), 比较复杂 (1) 设 X 为离散型随机变量,其分布列为P(X=Xi )=pi , i=1,2,…, 是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？ (2) 设X 是连续型随机变量,其密度函数为 f (x), 1 | ( )| i 如果 g x i pi 收敛, 1 [ ( )] ( ) ; k 则 EY E g X g xk pk [ ( )] ( ) ( ) . 则 EY E g X g x f x dx 如何计算 X 的某个函数 g(X) 的期望 ？ g(X)也是随机变量
g(xx)pR2 X离散型 EY EL8(X)= g(x)f(x)dk,X连续型 由此公式求E[gX]时，甚至不必知道(X的分布，直接利用X 的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便 推广设随机变量Z是随机变量X,Y的连续函数Y=g(X,), 含言(x,D四 X,Y)离散型 则EZ=ELg(X,Y)川= 蕘筱 [g(x,yf(x,y)xdy X,Y)连续型 将g()特殊化，可得到多种其他的数字特征： 联合密度 E(Xk)一k阶原点距， 其中k是正整数 E(X)一k阶绝对原点距， E[X-E(X)]k一k阶中心距， E(|X-EXk)—k阶绝对中心距
( ) k E X k E[X E(X)] (| | ) k E X (| | ) k E X EX 其中 k 是正整数. 将g(X)特殊化，可得到多种其他的数字特征: —— k阶原点距， —— k阶中心距， —— k阶绝对原点距， —— k阶绝对中心距， 连续型 离散型 g x f x dx X g x p X EY E g X k k k ( ) ( ) , ( ) , [ ( )] 1 由此公式求E[g(X)]时, 甚至不必知道 g(X)的分布, 直接利用X 的分布就可以了. 推广 设随机变量Z 是随机变量X,Y 的连续函数Y=g(X,Y), 则 连续型 离散型 ( , ) ( , ) , ( , ) ) , ( , ) , ( [ ( , )] 1 1 g x y f x y dxdy X Y g x y p X Y EZ E g X Y i j ij i j 联合分布列 联合密度 绝对收敛 这给求随机变量函数的期望带来很大方便