第四章随机变量的数字特征 一、基本题 1.设随机变量X,X2,X,相互独立，且都服从参数为3的泊松分布，X是X,X2,X3的算 术平均值，则EX= 2.设随机变量X服从参数为0.5的泊松分布，则E( 1+X 3.设随机变量X的概率密度为f(x)=- 1-2+x-1 4,x∈R,则EX2= 4设X~N(O,,Y与X独立同分布，则D1X-YF 5.设对某一种商品的需求量X(件)是一随机变量，其概率分布为 PX=k=2之k=12,34)则期塑需求量为 6kI 6.有若干瓶超过保质期的饮料，假设其中变质的期望瓶数为18瓶，标准差为4瓶，则变质 饮料的瓶数X的概率分布是 7.一根均匀金属轴的横截面是一圆形，以X表示对其直径的随机测量结果，X~U[L,2], 则轴的横截面面积S的数学期望为 ·方差为 8.以X表示连接10次独立重复射击命中目标的次数，己知每次射击命中目标的概率为 0.4,则EX2= 9.假设无线电测距仪无系统误差，其测量的随机误差服从正态分布。己知随机测量的绝对 误差以概率0.95不大于20米，则随机测量误差的标准差σ= 10.100次独立重复试验成功次数的标准差的最大值等于 11.假设X与Y的方差都为1，Pg=0.25,则随机变量U=X+Y和V=X-2Y的协方 差为 12.将一枚均匀对称的色子独立地重复掷4次，以X表示4次掷出的点数之和，则根据车不 晓夫不等式，P{10<X<18}≥ 13.设EX=-2,DX=1,EY=2,DY=4,Py=-0.5,则根据车不晓夫不等式， PIX+Y26}≤
第四章 随机变量的数字特征 一、基本题 1. 设随机变量 1 2 , , X X X3 相互独立，且都服从参数为3的泊松分布，X 是 1 2 , , X X X3 的算 术平均值，则 E X = ______________ . 2. 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，则 0.5 1 ( ) _____________ . 1 E X = + 3. 设随机变量 X 的概率密度为 2 1 4 1 ( ) , , x x f xex R π − +− ∈ 2 = 则 EX = _______ . 4. 设 1 ~ (0, ) 2 X N ，Y 与 X 独立同分布，则 DX Y | | __________ . − = 5. 设对某一种商品的需求量 X （件）是一随机变量，其概率分布为 2 { } ( 1, 2,3, 4) 6 ! k PX k k k == = 则期望需求量为 __________. 6. 有若干瓶超过保质期的饮料，假设其中变质的期望瓶数为18瓶，标准差为 瓶，则变质 饮料的瓶数 4 X 的概率分布是 ____________. 7. 一根均匀金属轴的横截面是一圆形，以 X 表示对其直径的随机测量结果， ， 则轴的横截面面积 的数学期望为 方差为 X U~ [1, 2] S _______. _______. 8. 以 X 表示连接10次独立重复射击命中目标的次数，已知每次射击命中目标的概率为 0.4 ，则 2 EX = ___________ . 9. 假设无线电测距仪无系统误差，其测量的随机误差服从正态分布。已知随机测量的绝对 误差以概率 不大于 0.95 20 米，则随机测量误差的标准差σ = _________ . 10. 100次独立重复试验成功次数的标准差的最大值等于 ____________. 11. 假设 X 与Y 的方差都为1， 0.25 ρ XY = ，则随机变量U XYV X Y = + =− 和 2 的协方 差为 ____________. 12. 将一枚均匀对称的色子独立地重复掷 次，以 4 X 表示 次掷出的点数之和，则根据车不 晓夫不等式， 4 P X {10 18} _________ . < < ≥ 13. 设 2, 1, 2, 4, 0.5 EX DX EY DY =− = = = =− ρ XY ，则根据车不晓夫不等式， PXY {| | 6} _________ . +≥ ≤
14.对于任意随机变量X和Y,如果D(X+Y)=D(X-Y),则 [A)X和Y独立 [B]X和Y不独立 [C]DXY =DXDY [D]EXY =EXEY 15.假设随机向量(X,Y)在以点(0,1)，(1,0)，(L,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布求 随机变量Z=X+Y的方差 16.假设随机变量X和Y的数学期望都等于1，方差都等于2，其相关系数为0.25，求随机变 量U=X+2Y和V=X-2Y的相关系数p 二、提高题 1.设X~e(2),则E(X+ex)= 1 2.假设随机变量X服从柯西分布，其概率密度为∫(x)= ,xER, π(1+x2) 求：Emin{X,1} 3.假设随机变量X1,X2,X1。独立同分布，且方差存在 求随机变量U=X,+.+X。和V=X,+.+Xo的相关系数p 4.连续掷一硬币n次，设每次硬币出现正面的概率为p,出现反面的概率为q,求出现正面的 次数为偶次的概率 5.设随机变量X只取自然数为值，试证明：EX-∑P(X≥) k=1 6.设一袋子中装有黑球n个，现从该袋中任意取出一球，并放入一白球，如此进行n次， 己知此时袋中白球个数的期望为m,求第n+1次取出的球为白球的概率。 7.设一台机器上有三个部件，在某一时刻需要对部件进行调整，3个部件被调整的概率分别 为01,0.2,0.3并且互相独立。任一部件需要调整即为该机器需要调整。 []求该机器需要调整的概率。 [2]记X为需要调整的部件数，求EX,DX
14. 对于任意随机变量 X 和Y ，如果 DX Y DX Y ( )( + = − ) ，则 ____________. [A] X 和Y 独立 [ ] B X 和Y 不独立 [ ] C DXY DXDY = [ ] D EXY EXEY = 15. 假设随机向量 (,) X Y 在以点 为顶点的三角形区域上服从均匀分布.求 随机变量 (0,1),(1,0),(1,1) Z = + X Y 的方差. 16. 假设随机变量 X和Y 的数学期望都等于1,方差都等于 ,其相关系数为0.25,求随机变 量 和 的相关系数 2 UX Y = + 2 VX Y = − 2 ρ . 二、提高题 1. 设 X ~ (2) e ，则 ( ) ____________ . X EX e− + = 2. 假设随机变量 X 服从柯西分布,其概率密度为 2 1 () , (1 ) f x x π x = ∈ R + , 求: E X min{| |,1} 3. 假设随机变量 1 2 10 X , ,... X X 独立同分布,且方差存在. 求随机变量UX X VX X = ++ = ++ 16 5 ... 和 ... 10 的相关系数 ρ 4. 连续掷一硬币 次,设每次硬币出现正面的概率为 出现反面的概率为 ,求出现正面的 次数为偶次的概率. n p, q 5. 设随机变量 X 只取自然数为值，试证明： 1 ( ) k EX PX ∞ = = ∑ ≥ k 6. 设一袋子中装有黑球 个，现从该袋中任意取出一球，并放入一白球，如此进行 次， 已知此时袋中白球个数的期望为 ，求第 n n m n +1次取出的球为白球的概率。 7.设一台机器上有三个部件，在某一时刻需要对部件进行调整，3 个部件被调整的概率分别 为0.1,0.2,0.3并且互相独立。任一部件需要调整即为该机器需要调整。 [1]求该机器需要调整的概率。 [2] 记 X 为需要调整的部件数，求 EX DX ,