第三章多维随机变量及其分布 在许多随机试验中,需要考虑的指标不止一个。例如,考查某地区学龄前儿童发育情况, 对这一地区的儿童进行抽样检查,需要同时观察他们的身高和体重,这样,儿童的发育就 要用定义在同一个样本空间上的两个随机变量来加以描述。又如,考察礼花升空后的爆炸 点,此时要用三个定义在同一个样本空间上的随机变量来描述该爆炸点。在这一章中,我 们将引入多维随机变量的概念,并讨论多维随机变量的统计规律性。 3.1二维随机变量及其分布 在这一节中.我们主要讨论二维随机变量及其概率分布,并把它们推广到维随机变量. 3.1.1二维随机变量及其分布函数 1.二维随机变量 定义3.1设2={o}为样本空间,X=X(o)和Y=Y(o)是定义在2上的随机变量,则由它们 构成的一个二维向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量. 二维向量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。 因此,逐个讨论X和Y的性质是不够的,需把XY)作为一个整体来讨论。随机变量X常 称为一维随机变量。 2.二维随机变量的联合分布函数 与一维的随机变量类似,我们也用分布函数来讨论二维随机变量的概率分布。 定义3.2设(X万是二维随机变量,x,y为任意实数,事件(X≤x)和(Y≤y)的交事件的 概率称为二维随机变量(X)的联合分布或分布函数,记作F(x,y),即 F(x,y)=P(r≤x)∩(P≤y)△P(≤x,r≤y) 若把二维随机变量(X)看成平面上随机点的坐标,则分布函数F(X)在(x)处的函数值就是 随机点(X落入以(:,)为定点且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率(见图3-1)。而随机点(X) P(x<X≤x3,片<P≤)=F(x2,2)-Fx,乃)-Fx,)+F(x,片) 落在矩形区域[x1<x≤x2;乃<y≤2]内的概率可用分布函数表示(见图3-2) (x, 图3-1
第三章 第三章 多维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 在许多随机试验中,需要考虑的指标不止一个。例如,考查某地区学龄前儿童发育情况, 对这一地区的儿童进行抽样检查,需要同时观察他们的身高和体重,这样,儿童的发育就 要用定义在同一个样本空间上的两个随机变量来加以描述。又如,考察礼花升空后的爆炸 点,此时要用三个定义在同一个样本空间上的随机变量来描述该爆炸点。在这一章中,我 们将引入多维随机变量的概念,并讨论多维随机变量的统计规律性。 3.1 3.1 二维随机变量及其分布 二维随机变量及其分布 二维随机变量及其分布 二维随机变量及其分布 在这一节中.我们主要讨论二维随机变量及其概率分布,并把它们推广到 n 维随机变量。 3.1.1 3.1.1 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量及其分布函数 1. 1. 二维随机变量 二维随机变量 定义 3.1 3.1 设={}为样本空间,X=X()和 Y=Y()是定义在上的随机变量,则由它们 构成的一个二维向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量. . 二维向量(X,Y)的性质不仅与 X 及 Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系 。 因此,逐个讨论 X 和 Y 的性质是不够的,需把(X,Y)作为一个整体来讨论。随机变量 X 常 称为一维随机变量。 2. 2. 二维随机变量的联合分布函数 二维随机变量的联合分布函数 二维随机变量的联合分布函数 二维随机变量的联合分布函数 与一维的随机变量类似,我们也用分布函数来讨论二维随机变量的概率分布。 定义 定义 3.2 3.2 设(X,Y)是二维随机变量,x,y 为任意实数,事件(X≤x)和(Y≤y)的交事件的 概率称为二维随机变量(X,Y)的联合分布或分布函数 联合分布或分布函数 联合分布或分布函数 联合分布或分布函数 ,记作 F(x,y),即 若把二维随机变量(X,Y)看成平面上随机点的坐标,则分布函数 F (X,Y)在(x,y)处的函数值就是 随机点(X,Y)落入以(x,y)为定点且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率(见图 3-1)。而随机点 (X,Y) 落在矩形区域[x 1 x x 2 ; y 1 y y 2 ]内的概率可用分布函数表示(见图 3-2) x F ( x , y ) P ( X x ) (Y y )) P ( X x , Y y ). ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ). P x 1 X x 2 y 1 Y y 2 F x 2 y 2 F x 2 y 1 F x 1 y 2 F x 1 y 1 y o ( x , y ) 图 3-1
图3-2 分布函数F(x,)具有以下的基本性质。 (1)0≤F(x,月≤1. F(+oo,+o)=limF(x,y)=1, F(-∞,-0)=limF(x,y)=0. 对于任意固定的x和,有 F(x,)=lim F(x,)=0, F(-o,y)=limF(x,y)=0. (2)F(x,)是变量x或y的单调不减函数,即对任意固定的y,当,≥ 时,F(x2,y)≥F(x1,):对任意固定的x,当≥n时,F(x2)≥F(x,h)。 (3)F(x,)=凡H0,),F(x,片F(x0),即F(x,关于x是右连续的,关于也是 右连续的。 (4)对于任意(出,乃),(2y2方出<2片<y2,有 F(2,2)-F(x1,2)-F(x2,)+F(x1,乃)≥0 性质(1),(2),(4)可直接由分布函数的定义及它的几何意义得出。性质(3)的证明要用较 多的数学知识,故从略。 3.二维随机变量的边缘分布函数 二维随机变量(K,)作为一个整体具有联合分布函数F(x,)。而r和旷都是随机 变量,各自也有它们的分布函数,把和P的分布函数分别记为F()和FU),并分别称 为随机变量(K,)关于和'的边缘分布函数。 由分布函数的定义可得到联合分布函数和边缘分布函数的关系。 F,(x)=P(r≤x)=P(X≤x,P<+∞)=Fx,+o), 即 F(x)=F(x,十∞)
分布函数 F (x,y)具有以下的基本性质。 (1) 0≤F (x,y)≤1. 对于任意固定的 x 和 y,有 (2) F (x , y) 是变 量 x 或 y 的单 调 不 减 函 数 , 即 对 任 意 固 定 的 y ,当 x2 x1 时, F ( x 2 , y) F (x 1 , y);对任意固定的 x,当 y2 y1 时, F ( x, y 2 ) F (x, y 1 ) 。 (3) F (x,y) = F(x+0, y),F (x, y)=F (x, y+0),即 F (x, y)关于 x 是右连续的,关于 y 也是 右连续的。 (4) 对于任意 ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ); x 1 x 2 , y 1 y 2,有 F ( x 2 , y 2 ) F (x 1 , y 2 ) F (x 2 , y 1 ) F ( x 1 , y 1 ) 0 性质(1),(2),(4)可直接由分布函数的定义及它的几何意义得出。性质(3)的证明要用较 多的数学知识,故从略。 3 3 . . 二维随机变量的边缘分布函数 二维随机变量的边缘分布函数 二维随机变量的边缘分布函数 二维随机变量的边缘分布函数 二维随机变量(X,Y)作为一个整体具有联合分布函数 F(x,y)。而 X 和 Y 都是随机 变量,各自也有它们的分布函数,把 X 和 Y 的分布函数分别记为 FX (x)和 FY (y),并分别称 为随机变量(X,Y)关于 X 和 Y 的边缘分布函数。 由分布函数的定义可得到联合分布函数和边缘分布函数的关系。 F (x) P( X x) P(X x,Y ) F(x,), X 即 F (x) F (x,). X ( , ) ( , ) 0 . ( , ) ( , ) 1 , lim lim F F x y F F x y y x y x ( , ) ( , ) 0 . ( , ) ( , ) 0 , lim lim F y F x y F x F x y x y x y 1y 2 y 1x 2 x 0 图 3-2
同理可得 Fr (x)=F(+0o,). 几何上F,()和F()的函数值是(K,刀落入图3-3和图3-4所示区域内的概率 图3-3 例1设二维随机变量(K,)的联合分布函数为 凡x列=MB+arcta克C+ 其中A,B,C为常数,-0<x<+o0,-00<y<+o0 (I)试确定A,B,C的值; (2)求r和的边缘分布函数: (3)求P(2). 解(1)由联合分布函数的性质(2),知 -)=KB+ZXC+Z)=l. 凡-0,+)=B-2XC+2)=0, -n,o)=B+7(C-3=0, 由此可解得A=1/π2,B=π/2,C=π/2 (2)由定义直接可知
同理可得 几何上 F (x) F (y)的函数值是(X,Y)落入图 3-3 和图 3-4 所示区域内的概率. X 和 Y 例 例 1 1 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 ), 2 )( 2 ( , ) ( arctan C x F x y A B 其中 A,B,C 为常数, x , y . (1) 试确定 A,B,C 的值; (2)求 X 和 Y 的边缘分布函数; (3)求 P (X >2)。 解 解 (1) 由联合分布函数的性质(2),知 ) 0, 2 )( 2 ( , ) ( ) 0, 2 )( 2 ( , ) ( ) 1, 2 )( 2 ( , ) ( F A B C F A B C F A B C 由此可解得 1/ , / 2, / 2. 2 A B C (2) 由定义直接可知 F ( x ) F ( , y ). Y y 0 x x 图 3-3 y y x 0 图 3-4
F,(=Hx+o)=(任+arctan3 π22 =1+Larcte FU)=-0,)=↓7 +arctan)-+上aretan,2)=1-rs2)=l-R,(2=1-+20=4 1 π 3.1,2二维离散型随机变量及其概率分布 若二维随机变量(K,)的所有可能取的值是有限多对或可列无限多对,则称(K,) 为二维离散型随机变量. 1.联合分布律 设(X,Y)是二维离散型随机变量,其所有可能取的值为(),6了=1,2,,m 若(K刀取数对(xy)的概率P八X=x,Y=y)=P,满足 P≥0, 则称 P(X=x,Y=y)=Pg,1j=1,2,… 为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律或分布律, 2.边缘分布律 我们可以由(K,)的联合分布律求出X和F的分布律。这是因为 ar-x-Ar-xUJ(r-)-Eax-xr--n i=1,2,…, 同理 P(y=y)=2P,4P/=1,2 i-t 其中P,和P,分别是表示2P,和2P,的记号,它们分别是事件(K=x)和(P=) 的概率,且有P,20, P,202,-22%=1 故分别为X和P的分布律,我们称 P八X=x)=P,i=1,2,…
, . 2 arctan 1 2 1 2 arctan 2 1 ( ) ( , ) , , 2 arctan 1 2 1 2 arctan 2 1 ( ) ( , ) 2 2 y y y F y F y x x x F x F x Y X (3) 由 X 得分布函数,得 . 4 1 arctan1) 1 2 1 ( 2) 1 ( 2) 1 (2) 1 ( P X P X FX 3.1.2 3.1.2 二维离散型随机变量及其概率分布 二维离散型随机变量及其概率分布 二维离散型随机变量及其概率分布 二维离散型随机变量及其概率分布 若二维随机变量(X,Y)的所有可能取的值是有限多对或可列无限多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量. . 1. 1. 联合分布律 设(X,Y)是二维离散型随机变量,其所有可能取的值为(xi, yj),i,j =1,2,…,n, 若(X,Y)取数对(xi, yj)的概率 P(X x i ,Y y j) p ij,满足 0 , 1, 1 1 i j p ij p ij 则称 为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律或分布律. . 2. 2. 边缘分布律 我们可以由(X,Y)的联合分布律求出 X 和 Y 的分布律。这是因为 1, 2, , ( ) ( , ( )) ( , ) . 1 1 1 i P X x P X x Y y P X x Y y p p j j i j ij i j i i j 同理 其中 p i .和 p. j分别是表示 和 的记号,它们分别是事件 和( j1 ij p i1 pij ( ) i X x ) i Y y 的概率,且有 . 0, . 1; 1 1 1 i i ij j pi pi p . 0, . 1. 1 1 1 j j ij i p j p j p 故分别为 X 和 Y 的分布律,我们称 P(X x ) p .,i 1,2,.... i i P ( X x ,Y y ) p , i, j 1,2, i j ij ( ) , 1 , 2 , , 1 P Y y p p j j j ij j
为二维离散型随机变量(K,)关于的边缘分布律。同样,称 Y=y)=pj=1,2,… 为(K,)关于P的边缘分布。 通常用下表格来表示(X,)联合分布律和边缘分布律: xX2…Xn… P.i 乃 P1P21…PA… he 3 P2P22…卫2… 乃P2y…Pg… 乃.P2P =iP=2P,=2, l 1 例2设随机变量K在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,另一个随机变量Y在1r中 等可能地取一整数值。试求(X的联合分布律及边缘分布律。 解因为事件(=,P=)中1的取值为1,2,3,4,了取不大于1的正整数值,所以由乘法 公式得(X)的分布律 ==》==小Aw=r=0=}1=1,2,3,4,s 而P(X=0==1=1234PV==/=1,234. 4 故用表格表示如下: YIr 1234 P. 1/41/81/121/16 25/48 2 0 1/81/121/16 13/48 3 0 01/121/16 7/48 4 0 0 01/16 3/48 P 1/4 1/41/4 1/4
为二维离散型随机变量(X,Y)关于 X 的边缘分布律。同样,称 P(Y y ) p. , j 1,2,.... i j 为(X,Y)关于 Y 的边缘分布。 通常用下表格来表示(X,Y)联合分布律和边缘分布律: 例 例 2 2 设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个整数中等可能地取值,另一个随机变量 Y 在 1~X 中 等可能地取一整数值。试求(X,Y)的联合分布律及边缘分布律。 解 解 因为事件(X = i, Y = j)中 i 的取值为 1,2,3,4,j 取不大于 i 的正整数值,所以由乘法 公式得(X,Y)的分布律 ,i = 1,2,3,4,j i i P X i Y j P X i P Y j X i 1 4 1 , ( ) ( ) 而 , 1,2 ,3,4 . 4 1 , 1,2 ,3,4 ; ( ) 4 1 4 1 ( ) 4 1 j i i P Y j i P X i i j i j 故用表格表示如下: X Y ... ... 1 x 2 x n x j p. 1 y 2 y j y ... ... 11 p 21 p i1 p ... ... 12 p 22 p i 2 p ... ... ... ... j p 1 j p 2 ij p ... ... 1 1 1 . i i p p 1 2 2 . i p pi 1 . i p j pij . i p . ... ... 1 p . 2 p . i p ... . .. 1 1 j j p 1 2 j j p j 1 ij p Y \ X 1 2 3 4 j p . 1 2 3 4 1/4 1/8 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0 0 1/12 1/16 0 0 0 1/16 25/48 13/48 7/48 3/48 . i p 1/4 1/4 1/4 1/4
例3已知随机变量r和'的分布率分别为 X -101 Pe 0.250.250.5 L 01 P 0.50.5 而且P=0=1,求随机变量(X)的联合分布律。 解因为PY=0)=1,所以PY≠0)=0。由此知 Pr=-1,Y=1)=X=1,Y=1)=0 故有分布律 -101 P 0 P11P21P乃1 0.5 1 0 22 0 0.5 P 0.250.50.25 根据联合分布律与边缘分布律的关系,由 K=-)=B1+0=0.25,Y=1)=0+P2+0=0.5, Pr=0)=P21+P22=0.5,r=1)=P31+0=0.25, 得乃1=025,P2=0.5P21=0,P1=0.25。故(XY)的联合分布律为 '\r -10 1 0 0.2500.25 00.50 3.1.3二维连续型随机变量及其联合分布概率分布 1.连续型随机变量及其联合分布密度函数 定义3.3设二维随机变量(K,)的分布函数为凡x月。若存在非负函数x,,对任意实数 x,y有 Fx)=∫fu,)hdu, 则称(X,)为连续型二维随机变量,且称函数f(x,)为二维随机变量(r,)的联合密度函 数,简称为联合密度或概率密度。 由定义可知联合密度(x,具有以下性质:
例 例 3 3 已知随机变量 X 和 Y 的分布率分别为 而且 P(XY=0)=1,求随机变量(X,Y)的联合分布律。 解 解 因为 P(XY 0) 1,所以 P(XY 0) 0 。由此知 P(X 1,Y 1) P(X 1,Y 1) 0 故有分布律 根据联合分布律与边缘分布律的关系,由 ( 0) 0.5, ( 1) 0 0.25, ( 1) 0 0.25, ( 1) 0 0 0.5, 21 22 31 11 22 P X p p P X p P X p P Y p 得 p11 0.25; p22 0.5; p21 0; p31 0.25。故(X,Y)的联合分布律为 3.1.3 3.1.3 二维连续型随机变量及其联合分布概率分布 二维连续型随机变量及其联合分布概率分布 二维连续型随机变量及其联合分布概率分布 二维连续型随机变量及其联合分布概率分布 1 1 . . 连续型随机变量及其联合分布密度函数 连续型随机变量及其联合分布密度函数 连续型随机变量及其联合分布密度函数 连续型随机变量及其联合分布密度函数 定义 定义 3.3 3.3 设二维随机变量(X , Y )的分布函数为 F(x, y)。若存在非负函数 f (x , y),对任意实数 x , y 有 , x y F ( x, y) f (u, v)dvdu 则称(X , Y )为连续型二维随机变量,且称函数 f (x , y)为二维随机变量(X , Y )的联合密度函 数,简称为联合密度或概率密度。 由定义可知联合密度 f (x , y)具有以下性质: X 1 0 1 k p 0.25 0.25 0.5 Y 0 1 Pk 0.5 0.5 Y \ X -1 0 1 p.j 0 1 p11 p21 p31 0 p22 0 0.5 0.5 pi i . 0.25 0.5 0.25 Y \ X -1 0 1 0 1 0.25 0 0.25 0 0.5 0
(1)八x月≥0, /x,)r=F+o,-o)=1 可以证明,凡满足性质(1)的任意一个二元函数八x,),必可作为某个二维随机变量的联 合密度函数。 (2)若f(x,)在点(x,处连续,则 a2Fx,2=f八x,) OxOy 事实上,由定义知 n”-.(sn]-xw 》-8xn=九n (3)设G是Oy平面上的一个区域,则有 P(r,月eO=J∫f八x,a 在几何上:=(x,)表示空间的一张曲面。由性质(1)知,介于该曲面和xOy平面之间的 空间区域的体积是1。由性质(3)知,P(X,)∈O的值等于以G为底,以曲面:=八x,) 为顶的曲顶柱体的体积。 2.二维连续型随机变量的边缘密度函数 若(K,乃是二维连续型随机变量,其联合密度函数是(x,),此时X和P也是连续型随 机变量,分别称X和r的概率密度函数f(x)和f,()为(X,)关于r和'的边缘密度函 数,简称为边缘密度。且有 =云=云*w 同样有 ()=[f(x.y)dr 例4己知二维随机变量(K,)的联合密度函数为 e2r3y,x>0,y>0 f八x,月= 0, 试求(1)常数: (2)联合分布函数凡x: (3)边缘密度函数千(x),f(x): (4)概率PP+2Y≤1)
( ( 1 1 ) ) f ( x, y) 0; f (x, y)dydx F(,) 1 可以证明,凡满足性质(1)的任意一个二元函数 f (x , y),必可作为某个二维随机变量的联 合密度函数。 ( ( 2 2 ) ) 若 f (x , y)在点(x , y)处连续,则 ( , ) ( , ) 2 f x y x y F x y 事实上,由定义知 ( ( , ) ) ( , ). ( , ) ( ; ) ( , ) ( , ) 2 f x v dv f x y x y y F x y f u v dv du f x v dv x x F x y y x y y ( ( 3 3 ) ) 设 G 是 xOy 平面上的一个区域,则有 (( , ) ) ( , ) . P X Y G f x y dxdy G 在几何上 z = f (x , y)表示空间的一张曲面。由性质(1)知,介于该曲面和 xOy 平面之间的 空间区域的体积是 1。由性质(3)知, P((X ,Y )G) 的值等于以 G 为底,以曲面 z = f (x , y) 为顶的曲顶柱体的体积。 2. 2. 二维连续型随机变量的边缘密度函数 二维连续型随机变量的边缘密度函数 二维连续型随机变量的边缘密度函数 二维连续型随机变量的边缘密度函数 若(X , Y)是二维连续型随机变量,其联合密度函数是 f (x , y),此时 X 和 Y 也是连续型随 机变量,分别称 X 和 Y 的概率密度函数 和 为(X , Y)关于 X 和 Y 的边缘密度函 边缘密度函 f (x) X f (y) Y 数 数 , 简称为边缘密度 边缘密度 。且有 f t y dy dt f x y dy dx d F x dx d F x dx d f x x X X ( ) ( ) ( ,) ( , ) ( , ) 同样有 ( ) ( , ) . f y f x y dx Y 例 例 4 4 已知二维随机变量(X,Y) 的联合密度函数为 0, , 0, 0 ( , ) 2 3 ke x y f x y x y 试求:(1) 常数 k; (2) 联合分布函数 F(x, y); (3) 边缘密度函数 f X (x), f Y (x); (4) 概率 P(X 2Y 1)
解()利用联合密度函数的性质, 1=几xd=ke2-=ke2re=6 得k=6且 x四= 6e2r-3J,x>0,y>0 0, (2)由定义 xn=了/uhdh=6er>0,八0 0, 0-e1-oa>0n0 0 3)由 ==e00 0,x≤0 得 a-8 同理可得 3e3y,y>0 0,y≤0. (④(r,)的取值区域如图3-5所示,故 ☒1 ×x+2y=1 图3-5 r+r≤=nh=-aae=-4ee5-h 0 =2e-eheoe+0-cn55 下面介绍两个常用的分布 均匀分布
解 解 (1) (1) 利用联合密度函数的性质, 1 ( , ) 6. 0 3 0 2 0 0 2 3 f x y dxdy ke dxdy k e dx e dy k x y x y 得 k = 6 且 0, 6 , 0, 0 ( , ) 2 3 e x y f x y x y (2) (2) 由定义 0 (1 )(1 ), 0, 0; 0, 6 , 0, 0; ( , ) ( , ) 2 3 0 0 2 3 e e x y e dydx x y F x y f u v dvdu x y x y x y x y (3) (3) 由 0, 0 6 , 0 ( ) ( , ) 0 2 3 x e x f x f x y dy x y X 得 0, 0. 2 , 0; ( ) 2 x e x f x x X 同理可得 0, 0. 3 , 0; ( ) 3 y e y f y y Y (4) (4) (X , Y)的取值区域如图 3-5 所示,故 1 3 4 0.5135 0 1 4 0 1 2 ( ) 0 (1 ) 2 1 ( 2 1) ( , ) 6 2 2 3 2 2 1 2 3 2 1 0 2 1 2 3 2 1 0 2 3 (1 ) 2 1 0 2 3 1 0 2 1 e e e dx e e e e e dx x P X Y f x y dydx dx e dy e e x x x x x y x x y x y 下面介绍两个常用的分布. 均匀分布 均匀分布 图 3-5 1 2 1 x 2 y 1
设G为Oy平面上的有界区域,G的面积为A。若二维随机变量(K,)的联合密度函数 为 0, 则称二维随机变量(X,)在G上服从均匀分布 若G是G内面积为4的子区域,则 AneG)-打=子 此概率仅与G的面积有关(成正比),而与G在G内的位置无关,这正是均匀分布的"均匀" 含义。 正态分布 若二维随机变量(X,)联合密度函数为 1 142p4-,4 几x,月= 21-p22 010202 ·e ,-000,02>0,p<1,则称(K,门服从参数为山1,01,42,02,P的二维正态分布,记为 (X,))~W(41o242,o22;p) 下面,我们来求二维正态随机变量的边缘密度函数。 因为x,的指数部分可表示为 C-4Y-2px-0-2+0-y -- -1 所以f,()=fx,月=2gg,-。3e1-p6p) 令 ='--p-出, u--p 1e7M=2πGea,-0<r<t+ 则有f()=2πo1
设 G 为 xOy 平面上的有界区域,G 的面积为 A。若二维随机变量(X , Y )的联合密度函数 为 0, ,( , ) 1 ( , ) x y G f x y A 则称二维随机变量(X , Y )在 G 上服从均匀分布. 若 G1是 G 内面积为 A1的子区域,则 . 1 (( , ) ) 1 1 1 A A dxdy A P X Y G G 此概率仅与 G1的面积有关(成正比),而与 G1 在 G 内的位置无关,这正是均匀分布的"均匀" 含义。 正态分布 正态分布 若二维随机变量(X , Y ) 联合密度函数为 , , , 2 1 1 ( , ) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2(1 ) 1 2 1 2 f x y e x y x x y y 其中1 0, 2 0, 1,则称(X , Y )服从参数为 , , , , 的二维正态分布,记为 2 2 2 2 1 1 , ~ ( , ; , ; ). 2 2 2 2 X Y N 1 1 下面,我们来求二维正态随机变量的边缘密度函数。 因为 f (x , y)的指数部分可表示为 (1 ) , 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 x y x x x y y 所以 , 2 1 ( ) ( , ) ( ) 2 (1 ) 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 e dy e f x f x y dy y x x X 令 ( ), 1 1 1 1 2 2 2 y x u 则有 f x e e du u x X 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 ( ) , . 2 1 2 1 2 1 2 1 e x x
-42P 1 同理()= √2π0 e2o,-0<y<+0 可见,若 (X,)W(4,1242,o22;p) 则 ~N4,o12),y~N42,023, 且K和P的边缘分布都与参数p无关,这说明p不同,得到的二维正态分布也不同,但其 边缘分布是相同的。因此有边缘分布是不能唯一确定联合分布的。即使X和'都是服从正 态分布的随机变量,(X,)也可能不是服从正态分布的。下面的例题就说明了这种情况。 例5设二维随机变量(K,)的联合密度函数为 几s川=2e号.+sinsin%-0<r<+,-m<y<to, 试求边缘密度函数f(x),f) -2+2 解闭=x=2上e子0+snsn 2π 今e2,0<x<+o0 同理可得 ()=1片 e,-0<y<+0 √2r 即P~W0,1),Y~W(0,1),但(X,Y)却不是服从二维正态分布的
同理 f y e y y Y , 2 1 ( ) 2 1 2 2 2 1 可见,若 , ~ ( , ; , ; ). 2 2 2 2 1 1 X Y N 则 ~ ( , ), ~ ( , ), 2 2 2 2 X N 1 1 Y N 且 X 和 Y 的边缘分布都与参数 无关,这说明 不同,得到的二维正态分布也不同,但其 边缘分布是相同的。因此有边缘分布是不能唯一确定联合分布的。即使 X 和 Y 都是服从正 态分布的随机变量,(X , Y )也可能不是服从正态分布的。下面的例题就说明了这种情况。 例 例 5 5 设二维随机变量(X , Y )的联合密度函数为 1 sin sin , 2 1 ( , ) 2 2 2 f x y e x y x y x , y , 试求边缘密度函数 f (x), f ( y) X Y 解 f x f x y dy e x y dy x y X (1 sin sin ) 2 1 ( ) ( , ) 2 2 2 e e e x y dy x y y ( sin sin ) 2 1 2 2 2 2 2 2 e e dy x y 2 2 2 2 2 1 e x x , 2 1 2 2 同理可得 f ( y) Y e y y , 2 1 2 2 即 X ~ N(0 ,1) , Y ~ N(0,1), 但(X,Y)却不是服从二维正态分布的